Um gás ideal encontra-se num estado inicial em que ocupa 1 litro, a 1 atm e 373 K . Então, o gás expande isotermicamente para um volume de dois litros e logo em seguida é resfriado isobaricamente para um volume V. Este volume é tal que uma compressão adiabática reversível para uma pressão de 1 atm retorna o sistema para seu estado inicial. Todas as mudanças de estado, por sinal, são conduzidas reversivelmente. Calcule o valor de V e o trabalho toal sofrido ou realizado pelo gás. (Exercício 2.3 do Gaskell)

Passo 1

Resumindo o enunciado: um gás ideal está no estado inicial I com
P_1=1\text{ atm}, V_1=1\text{ L} e T_1=373\text{ K}.
Ele sofre três processos reversíveis em sequência:
1. expansão isotérmica até V_2=2\text{ L} a T=T_1,
2. resfriamento isobárico até um volume V_3=V,
3. compressão adiabática reversível que retorna ao estado I.
Precisamos encontrar V e o trabalho total W_{\rm tot} realizado pelo gás.

Passo 2

Depois da expansão isotérmica (estados 1\to 2), como P_1V_1=nRT_1 e T é constante,
P_2 = P_1\,\frac{V_1}{V_2} =1\cdot\frac{1}{2} =\tfrac12\text{ atm}.
No processo 2\to 3, o gás é resfriado isobaricamente em P_3=P_2 até V_3=V.
A temperatura no estado 3 vem da lei dos gases ideais:
T_3=\frac{P_3\,V_3}{nR}.
Como nR=P_1V_1/T_1 e P_3/P_1=1/2, V_1=1, segue
T_3 = T_1\,\frac{P_3/P_1\;\times\;V_3/V_1}{1} = T_1\,\frac12\,V_3.

Passo 3

Na compressão adiabática reversível (estados 3\to 1) vale
T_3\,V_3^{\,\gamma-1} = T_1\,V_1^{\,\gamma-1}.
Substituindo T_3=T_1\,(V_3/2) e V_1=1, obtemos
\Bigl(\tfrac12\,V_3\Bigr)V_3^{\,\gamma-1}=1 \;\Longrightarrow\; \tfrac12\,V_3^{\,\gamma}=1 \;\Longrightarrow\; V_3^{\,\gamma}=2 \;\Longrightarrow\; V_3=2^{1/\gamma}.

Passo 4

Calculemos o trabalho em cada trecho, tomando W>0 se for feito pelo gás:
1\to 2 (isotérmico)
W_{12} = nR\,T_1\ln\frac{V_2}{V_1} = P_1V_1\ln2.
2\to 3 (isobárico)
W_{23} = P_2\,(V_3 - V_2) = \tfrac12\,(V_3 - 2).
3\to 1 (adabático, q=0)
Pela primeira lei \Delta U = -W e \Delta U = nC_v\,(T_1 - T_3),
W_{31} = nC_v\,(T_3 - T_1) = \frac{P_3V_3 - P_1V_1}{\gamma - 1} = \frac{\tfrac12\,V_3 - 1}{\gamma - 1}.
Somando,
W_{\rm tot} = W_{12}+W_{23}+W_{31} = P_1V_1\ln2 + \tfrac12\,(V_3 - 2) + \frac{\tfrac12\,V_3 - 1}{\gamma - 1}.
Como P_1V_1=1 L\cdot atm e V_3=2^{1/\gamma}, fica
W_{\rm tot} = \ln2 + \tfrac12\bigl(2^{1/\gamma}-2\bigr) + \frac{\tfrac12\,2^{1/\gamma}-1}{\gamma-1}.

Resposta

V = V_3 = 2^{1/\gamma}\text{ L},
W_{\rm tot} = \ln2 + \tfrac12\bigl(2^{1/\gamma}-2\bigr) + \frac{\tfrac12\,2^{1/\gamma}-1}{\gamma-1} \quad\text{(em L\cdotatm; se quiser em joules, multiplique por 101,325).}

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