Dois sistemas particulares têm as seguintes equações de estados:
\frac{1}{T^{(1)}}=\frac{3}{2} R \frac{N^{1}}{U^{1}} ; \frac{P^{(1)}}{T^{(1)}}=R \frac{N^{(1)}}{V^{(1)}} ; \frac{1}{T^{(2)}}=\frac{5}{2} R \frac{N^{(2)}}{U^{(2)}} \text { e } \frac{P^{(2)}}{T^{(2)}}=R \frac{N^{(2)}}{V^{(2)}} .
O número de mols do primeiro sistema é N^{(1)}=0,50 e do segundo é N^{(2)}=0,75. Os dois sistemas estão contidos num cilindro fechado, separados por um pistão fixo, adiabático e impermeável. As temperaturas iniciais são T^{(1)}=200 K e T^{(2)}=300 K e o volume total é de 20 litros. A chave de parafuso de fixação, que impede o movimento do pistão, é então removida e simultaneamente a isolação adiabática do mesmo é retirada, de tal forma que este se torna móvel, diatérmico e impermeável. Qual é a energia interna, volume, pressão e temperatura para cada subsistema quando o equilíbrio é estabelecido? (sugestão: É suficiente tomar R=8,3 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \mathrm{K} e assumir a pressão externa como zero.)

Passo 1

Temos dois gases ideais em compartimentos separados por um pistão móvel mas inicialmente adiabático e impermeável. Para cada subsistema vale
U^{(1)}=\frac{3}{2}R\,N^{(1)}T^{(1)},\quad U^{(2)}=\frac{5}{2}R\,N^{(2)}T^{(2)},
e a equação de estado \displaystyle P\,V=R\,N\,T. Sabemos N^{(1)}=0{,}50, T^{(1)}_{\rm i}=200 K, N^{(2)}=0{,}75, T^{(2)}_{\rm i}=300 K, volume total V_{\rm tot}=20 L e R=8{,}3 J/(mol K). Ao removermos o isolamento térmico do pistão (que fica diatérmico) mas sem permitir trocas de massa, em equilíbrio teremos:
  1. Temperaturas iguais: T^{(1)}=T^{(2)}=T_{\rm eq}.
  2. Pressões iguais: P^{(1)}=P^{(2)}=P_{\rm eq}.
  3. Conservação de energia interna total: U^{(1)}_{\rm i}+U^{(2)}_{\rm i}=U^{(1)}_{\rm f}+U^{(2)}_{\rm f}.
  4. Somas dos volumes igual ao volume total.

Passo 2

Calcular as energias internas iniciais:
U^{(1)}_{\rm i} =\frac{3}{2}R\,N^{(1)}T^{(1)}_{\rm i} =\frac{3}{2}\times8{,}3\times0{,}50\times200 =1\,245\\ {\rm J},
U^{(2)}_{\rm i} =\frac{5}{2}R\,N^{(2)}T^{(2)}_{\rm i} =\frac{5}{2}\times8{,}3\times0{,}75\times300 \approx4\,668{,}75\\ {\rm J}.
Logo a energia interna total inicial é
U_{\rm tot} =U^{(1)}_{\rm i}+U^{(2)}_{\rm i} \approx5\,913{,}75\\ {\rm J}.

Passo 3

Em equilíbrio térmico e mecânico, escrevemos
U^{(1)}_{\rm f} =\frac{3}{2}R\,N^{(1)}T_{\rm eq},\quad U^{(2)}_{\rm f} =\frac{5}{2}R\,N^{(2)}T_{\rm eq},
P_{\rm eq}=\frac{R\,N^{(1)}T_{\rm eq}}{V^{(1)}_{\rm f}} =\frac{R\,N^{(2)}T_{\rm eq}}{V^{(2)}_{\rm f}}, \quad V^{(1)}_{\rm f}+V^{(2)}_{\rm f}=0{,}020\\ {\rm m^3},
e a conservação de energia
U^{(1)}_{\rm f}+U^{(2)}_{\rm f} =U_{\rm tot}.

Passo 4

Da conservação de energia temos
\frac{3}{2}R\,N^{(1)}T_{\rm eq} +\frac{5}{2}R\,N^{(2)}T_{\rm eq} =U_{\rm tot}.
Substituindo números:
\Bigl(\tfrac{3}{2}\times8{,}3\times0{,}50 +\tfrac{5}{2}\times8{,}3\times0{,}75\Bigr)T_{\rm eq} =5\,913{,}75.
O coeficiente é
\frac{3}{2}\cdot8{,}3\cdot0{,}50 +\frac{5}{2}\cdot8{,}3\cdot0{,}75 =6{,}225+15{,}5625=21{,}7875,
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T_{\rm eq} =\frac{5\,913{,}75}{21{,}7875} \approx271{,}45\\ {\rm K}.

Passo 5

Para achar P_{\rm eq}, usamos P\,V_{\rm tot}=R\,(N^{(1)}+N^{(2)})\,T_{\rm eq}, pois as duas partes do gás somam o volume total:
P_{\rm eq} =\frac{R\,(N^{(1)}+N^{(2)})\,T_{\rm eq}}{V_{\rm tot}} =\frac{8{,}3\times1{,}25\times271{,}45}{0{,}020} \approx1{,}408\times10^{5}\\ {\rm Pa}.

Passo 6

Os volumes finais são
V^{(1)}_{\rm f} =\frac{R\,N^{(1)}T_{\rm eq}}{P_{\rm eq}} \approx\frac{8{,}3\times0{,}50\times271{,}45}{1{,}408\times10^{5}} \approx8{,}01\\ {\rm L},
V^{(2)}_{\rm f} =V_{\rm tot}-V^{(1)}_{\rm f} \approx20{,}00-8{,}01=11{,}99\\ {\rm L}.

Passo 7

As energias internas finais:
U^{(1)}_{\rm f} =\frac{3}{2}R\,N^{(1)}T_{\rm eq} \approx6{,}225\times271{,}45\approx1\,690\\ {\rm J},
U^{(2)}_{\rm f} =\frac{5}{2}R\,N^{(2)}T_{\rm eq} \approx15{,}5625\times271{,}45\approx4\,223{,}7\\ {\rm J}.

Resposta

Para o subsistema 1:
U_{1} \approx 1690 J, V_{1} \approx 8,01 L, P_{1} \approx 1,408\times 10^{5} Pa, T_{1} \approx 271,45 K.
Para o subsistema 2:
U_{2} \approx 4223,7 J, V_{2} \approx 11,99 L, P_{2} \approx 1,408\times 10^{5} Pa, T_{2} \approx 271,45 K.

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