Um sistema termodinâmico simples, que tem N mols de uma determinada substância, obedece a seguinte equação Fundamental u=\frac{A}{v^{2}} \exp (s / R), onde as grandezas são expressas por mol. Inicialmente, este sistema está num estado a uma temperatura \mathrm{T}_{0} e a uma pressão \mathrm{P}_{0}. Depois, ele é expandido adiabaticamente até uma pressão P_{i}=P_{d} / 2. Qual é a sua temperatura final T_{1} ?

Passo 1

O enunciado dá a equação fundamental por mol
u(s,v) \;=\;\frac{A}{v^{2}}\exp\bigl(\tfrac{s}{R}\bigr),
onde u é a energia interna, s a entropia, v o volume molar e R a constante universal dos gases. O sistema parte de \bigl(T_{0},P_{0}\bigr) e sofre expansão adiabática até P_{1}=P_{0}/2. Queremos achar a temperatura final T_{1}. Para isso precisamos (1) extrair T e P da equação fundamental e (2) usar a condição adiabática s= constante.

Passo 2

Aplicamos as definições termodinâmicas:
T=\Bigl(\frac{\partial u}{\partial s}\Bigr)_{v},\qquad P=-\Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_{s}.
Calculando
\frac{\partial u}{\partial s} =\frac{A}{v^{2}}\frac{1}{R}\exp\bigl(\tfrac{s}{R}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad T=\frac{u}{R},
e
\frac{\partial u}{\partial v} =-2\,\frac{A}{v^{3}}\exp\bigl(\tfrac{s}{R}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad P =2\,\frac{A}{v^{3}}\exp\bigl(\tfrac{s}{R}\bigr).

Passo 3

Combinando u=R\,T em u=(A/v^{2})\exp(s/R), temos
\exp\bigl(\tfrac{s}{R}\bigr) =\frac{v^{2}\,R\,T}{A}.
Substituindo em P obtém-se
P=2\,\frac{A}{v^{3}}\;\frac{v^{2}\,R\,T}{A} =\frac{2R\,T}{v},
isto é, a equação de estado
P\,v=2R\,T.

Passo 4

Como o processo é adiabático e reversível, s é constante, logo de
P=2A\,\exp\bigl(\tfrac{s}{R}\bigr)\,v^{-3}
vem que
P\,v^{3}=\text{constante}.
Chame essa constante de C. Assim
v^{3}=\frac{C}{P} \quad\Longrightarrow\quad v=\bigl(C/P\bigr)^{1/3}.
Da equação de estado T=P\,v/(2R) segue
T =\frac{P}{2R}\,\bigl(\tfrac{C}{P}\bigr)^{1/3} =\frac{C^{1/3}}{2R}\,P^{2/3}.
No estado inicial T_{0}=\frac{C^{1/3}}{2R}\,P_{0}^{2/3}. Divide-se então
\frac{T_{1}}{T_{0}} =\Bigl(\frac{P_{1}}{P_{0}}\Bigr)^{2/3}.

Passo 5

Como P_{1}=P_{0}/2, isto dá
T_{1} =T_{0}\,\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2/3} =T_{0}\,2^{-2/3}.

Resposta

T_{1}=T_{0}\,2^{-2/3}.

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