Duas barras de latão são unidas firmemente a duas barras de alumínio, formando a seção composta mostrada. Determinar o maior momento fletor permissível, quando a viga é encurvada em torno de um eixo horizontal.
Dados:
Alumínio Latão
Módulo de elasticidade 70 GPa 105 GPa
Tensão admissível 100 MPa 160 MPa

Passo 1

O enunciado apresenta uma viga composta por duas placas de latão (cada uma com largura 40 mm e espessura 10 mm) unidas a duas barras verticais de alumínio (cada uma com largura 10 mm e altura 40 mm), conforme a figura. A viga é solicitada por um momento fletor em torno de um eixo horizontal e precisamos achar o maior momento M tal que nem o latão nem o alumínio ultrapassem suas tensões admissíveis. Para isso, usamos o método da seção transformada, escolhendo o alumínio ( E_{\rm alum}=70 GPa) como referência e convertendo o latão ( E_{\rm lat}=105 GPa) em área equivalente.

Passo 2

Calculamos a razão modular
n \;=\;\frac{E_{\rm lat}}{E_{\rm alum}} \;=\;\frac{105}{70} \;=\;1{,}5.

Passo 3

Transformamos as áreas de cada parte e achamos o eixo neutro. Tomando a base y=0 na face inferior da placa de latão de baixo, as centroides ficam em
– placa de latão de baixo: y=5 mm, área real A=40\times10=400 m m^{2}, área equivalente nA=1{,}5\cdot400=600 m m^{2};
– cada barra de alumínio: y=10+20=30 mm, área 10\times40=400 m m^{2};
– placa de latão de cima: y=10+40+5=55 mm, área equivalente 600 m m^{2}.
A área total transformada é
A_t =600 + 2\cdot400 +600 =2000\text{ mm}^2
e a posição do neutro y_{\rm NA} (referida à face inferior) é
y_{\rm NA} =\frac{600\cdot5 + 2\cdot400\cdot30 +600\cdot55}{2000} =\frac{3000 +24000 +33000}{2000} =30\text{ mm}.

Passo 4

Calculamos o momento de inércia transformado I_t em relação ao eixo neutro:
– placas de latão (cada): b=40, h=10 \Rightarrow
I_{\rm cent}=\frac{b\,h^3}{12} =\frac{40\cdot10^3}{12}=3333{,}3\text{ mm}^4, \quad I_{t0}=n\,I_{\rm cent}=1{,}5\cdot3333{,}3=5000\text{ mm}^4;
distância ao neutro d=25 mm \Rightarrow
I_{\rm placa}=5000 +600\cdot25^2 =5000 +375000=380000\text{ mm}^4.
– duas barras de alumínio (cada): b=10, h=40 \Rightarrow
I_{\rm alum,cent}=\frac{10\cdot40^3}{12}=53333{,}3\text{ mm}^4,
centróide no neutro \Rightarrow sem termo de eixos paralelos, e somando duas barras:
I_{\rm alum,total}=2\cdot53333{,}3=106666{,}7\text{ mm}^4.
Logo
I_t =2\cdot380000 +106666{,}7 =866666{,}7\approx8{,}667\times10^5\text{ mm}^4.

Passo 5

Em flexão composta, a curvatura é
\kappa=\frac{M}{E_{\rm alum}\,I_t},
e a tensão em cada material na fibra mais afastada é
\sigma_{\rm alum,max} =\kappa\,E_{\rm alum}\,c_{\rm alum} =\frac{M}{I_t}\,c_{\rm alum}, \quad c_{\rm alum}=20\text{ mm},
\sigma_{\rm lat,max} =\kappa\,E_{\rm lat}\,c_{\rm lat} =\frac{M}{I_t}\,\bigl(n\,c_{\rm lat}\bigr), \quad n\,c_{\rm lat}=1{,}5\cdot30=45\text{ mm}.
Impõe-se \sigma_{\rm alum,max}\le100 MPa e \sigma_{\rm lat,max}\le160 MPa, daí
M_{\rm alum} =\frac{100\cdot I_t}{20} = \frac{100\cdot866666{,}7}{20} =4{,}33\times10^6\text{ N\cdotmm},
M_{\rm lat} =\frac{160\cdot I_t}{45} =\frac{160\cdot866666{,}7}{45} =3{,}08\times10^6\text{ N\cdotmm}.

Passo 6

Como M_{\rm lat}<M_{\rm alum}, o latão atinge primeiro seu limite. Portanto, o maior momento permissível é
M_{\max} =3{,}08\times10^6\text{ N\cdotmm} =3{,}08\text{ kN\cdotm}.

Resposta

O momento fletor máximo admissível é aproximadamente 3{,}08 k N\cdot m.

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