Duas substâncias
e
formam duas fases líquidas
e
quando misturadas. Medidas precisas da composição destas fases forneceram
e
. Uma possível extensão da equação de Margules de 1 parâmetro para misturas ternárias é a seguinte:
. Para este modelo, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas substâncias, $ a $ e $ b $, que quando misturadas formam duas fases líquidas, chamadas de $ \alpha $ e $ \beta $. As composições dessas fases são dadas por $ x_{a}^{\alpha} = 0.9788 $ e $ x_{a}^{\beta} = 0.0212 $. A questão apresenta uma extensão da equação de Margules para misturas ternárias e nos pede para determinar $ \ln \gamma_{c} $, que é o logaritmo natural do coeficiente de atividade da substância $ c $.
Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de Margules, especialmente em sua forma para misturas ternárias, e como ela se relaciona com os coeficientes de atividade das substâncias na mistura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação de Margules apresentada:
Aqui, $ g^{E} $ é a energia livre de excessos, $ R $ é a constante dos gases, $ T $ é a temperatura, e $ A_{ab} $, $ A_{ac} $, $ A_{bc} $ são parâmetros de Margules que descrevem as interações entre as diferentes substâncias na mistura. $ x_{a} $, $ x_{b} $, e $ x_{c} $ são as frações molares das substâncias $ a $, $ b $, e $ c $, respectivamente.
O coeficiente de atividade $ \gamma_{i} $ para uma substância $ i $ em uma mistura ternária pode ser relacionado à energia livre de excessos pela seguinte expressão:
Então, para encontrar $ \ln \gamma_{c} $, precisamos derivar $ g^{E}/RT $ em relação a $ x_{c} $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de $ g^{E}/RT $ em relação a $ x_{c} $:
Lembrando que em uma mistura ternária, $ x_{a} + x_{b} + x_{c} = 1 $, então $ x_{a} = 1 - x_{b} - x_{c} $. Porém, para a derivada, vamos tratar $ x_{a} $ e $ x_{b} $ como variáveis dependentes.
Passo 4
Agora, derivamos cada termo individualmente:
- Derivada de $ A_{ab} x_{a} x_{b} $ em relação a $ x_{c} $:
Como $ x_{a} + x_{b} + x_{c} = 1 $, temos $ \frac{\partial x_{a}}{\partial x_{c}} = -1 $ e $ \frac{\partial x_{b}}{\partial x_{c}} = -1 $.
Portanto:
Portanto:
- Derivada de $ A_{ac} x_{a} x_{c} $ em relação a $ x_{c} $:
Simplificando:
- Derivada de $ A_{bc} x_{b} x_{c} $ em relação a $ x_{c} $:
Simplificando:
Passo 5
Agora, somamos todas as derivadas parciais:
Vamos reorganizar os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Sabemos que $ x_{a} + x_{b} + x_{c} = 1 $, então podemos substituir $ x_{a} = 1 - x_{b} - x_{c} $. Porém, para simplificação, vamos manter a expressão atual e reconhecer que sem valores específicos para as frações molares ou para os parâmetros de Margules, não podemos simplificar mais.
Portanto, a expressão final para $ \ln \gamma_{c} $ é:
Resposta
A expressão para $ \ln \gamma_{c} $ é: