Duas substâncias a e b formam duas fases líquidas alpha e beta quando misturadas. Medidas precisas da composição destas fases forneceram xa^alpha=0.9788 e xa^beta=0.0212. Assumindo válida a equação de Margules com 1 parâmetro g^E / R T=Aa b xa xb, determine o valor da constante Aa b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre duas substâncias, $ a $ e $ b $, que formam duas fases líquidas, $ \alpha $ e $ \beta $, quando misturadas. A gente tem as composições dessas fases: $ x_{a}^{\alpha} = 0,9788 $ e $ x_{a}^{\beta} = 0,0212 $. Nosso objetivo é encontrar o valor da constante $ A_{ab} $ usando a equação de Margules com um parâmetro. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre termodinâmica das misturas e equilíbrio químico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Margules. Ela é usada para descrever a energia livre de mistura ($ g^E $) de uma solução líquida binária (com duas substâncias). A equação dada é:
g^E
Aqui, $ R $ é a constante dos gases, $ T $ é a temperatura, $ x_{a} $ e $ x_{b} $ são as frações molares das substâncias $ a $ e $ b $, respectivamente, e $ A_{ab} $ é a constante que queremos encontrar.

Passo 3

Em equilíbrio entre as duas fases $ \alpha $ e $ \beta $, o potencial químico de cada substância deve ser o mesmo em ambas as fases. Ou seja:
alpha
O potencial químico ($ \mu $) pode ser expresso como:
beta
Como estamos em equilíbrio, podemos igualar as expressões para $ \mu_{a} $ nas duas fases:
mua^alpha = mua^beta

Passo 4

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos dividir todos os termos por $ RT $ para facilitar:
RT
Agora, vamos isolar $ A_{ab} $:
ln xa^alpha + Aab (1 - 2xa^alpha) = ln xa^beta + Aab (1 - 2xa^beta)
Simplificando dentro dos parênteses:
Aab

Passo 5

Agora, resolvemos para $ A_{ab} $:
Aab

Passo 6

Vamos substituir os valores fornecidos:
xa^alpha = 0,9788 xa^beta = 0,0212
Primeiro, calculamos a razão dentro do logaritmo:
xa^betaxa^alpha = 0,02120,9788 approx 0,02168
Agora, calculamos o logaritmo natural:
ln(0,02168) approx -3,830
Em seguida, calculamos a diferença das frações molares:
2(xa^beta - xa^alpha) = 2(0,0212 - 0,9788) = 2(-0,9576) = -1,9152

Passo 7

Finalmente, substituímos esses valores na expressão de $ A_{ab} $:
Aab

Resposta

O valor da constante $ A_{ab} $ é aproximadamente 2,0.

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