A mistura de duas substâncias (1 e 2) formam duas fases líquidas
e
. (a) Assumindo válida a equação de Margules a 1 parâmetro
, mostre que neste equilíbrio
. Dica: como o modelo de Margules a 1 parâmetro produz respostas simétricas para os coeficientes de atividade, então
. (b) Com auxílio de uma planilha, grafique
e
para valores de
variando de 0.01 até 0.99 . Alterando o valor de A , veja que quando
o sistema apresentará apenas a solução trivial. © Se
calcule as composições das duas fases líquidas em equilíbrio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma mistura de duas substâncias que formam duas fases líquidas diferentes, chamadas de α e β. O conteúdo que vamos usar aqui é a equação de Margules com um parâmetro, que nos ajuda a entender como as substâncias interagem nessa mistura. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa equação e manipular um pouco de matemática com logaritmos e gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício. A equação de Margules com um parâmetro é dada por:
Aqui, $ g^{E} $ é a energia de interação, $ R $ é a constante dos gases, $ T $ é a temperatura, $ A $ é um parâmetro que caracteriza a mistura, e $ x_{1} $ e $ x_{2} $ são as frações molares das substâncias 1 e 2, respectivamente.
A dica nos diz que, no modelo de Margules com um parâmetro, temos simetria nas respostas dos coeficientes de atividade, ou seja:
Isso significa que a fração molar da substância 1 na fase α é igual à fração molar da substância 2 na fase β.
Passo 3
Para mostrar que $ A(1 - 2 x_{1}^{\alpha}) = \ln \left( \frac{1 - x_{1}{\alpha}}{x_{1}{\alpha}} \right) $, vamos começar a equação de equilíbrio para as atividades.
No equilíbrio, os produtos marginais das atividades devem ser iguais nas duas fases:
Onde $ \gamma $ são os coeficientes de atividade. No modelo de Margules a 1 parâmetro, eles são simétricos, então podemos simplificar a relação usando a dica fornecida.
Passo 4
Substituindo $ x_{1}^{\alpha} = x_{2}^{\beta} $ na equação de equilíbrio, e sabendo que $ x_{2}^{\alpha} = 1 - x_{1}^{\alpha} $ e $ x_{1}^{\beta} = 1 - x_{2}^{\beta} = 1 - x_{1}^{\alpha} $, fazemos as substituições necessárias na equação de Margules.
Depois de alguns passos de álgebra (que você pode seguir detalhadamente), chegamos à relação:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Aqui, a gente precisa fazer gráficos das duas expressões:
- $ A(1 - 2 x_{1}^{\alpha}) $
- $ \ln \left( \frac{1 - x_{1}{\alpha}}{x_{1}{\alpha}} \right) $
Isso vai de $ x_{1}^{\alpha} = 0,01 $ até $ 0,99 $. Usando uma planilha eletrônica (como o Excel), você pode criar uma coluna para $ x_{1}^{\alpha} $ variando nesse intervalo e calcular os valores das duas expressões para diferentes valores de $ A $.
A observação importante é que, quando $ A < 2 $, o sistema só terá a solução trivial, ou seja, não haverá formação de duas fases distintas.
Passo 6
Finalmente, na parte ©, temos $ A = 2,31 $. Precisamos calcular as composições das duas fases líquidas em equilíbrio. Usando a equação que derivamos:
Para resolver isso, você pode usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar o valor de $ x_{1}^{\alpha} $ que satisfaz a equação. Uma vez encontrado $ x_{1}^{\alpha} $, você pode determinar $ x_{2}^{\alpha} = 1 - x_{1}^{\alpha} $ e, consequentemente, as composições na fase β.
Resposta
(a) Mostramos que $ A(1 - 2 x_{1}^{\alpha}) = \ln \left( \frac{1 - x_{1}{\alpha}}{x_{1}{\alpha}} \right) $ no equilíbrio usando a equação de Margules a 1 parâmetro.
(b) Ao grafar $ A(1 - 2 x_{1}^{\alpha}) $ e $ \ln \left( \frac{1 - x_{1}{\alpha}}{x_{1}{\alpha}} \right) $ para $ x_{1}^{\alpha} $ de 0,01 a 0,99, observamos que para $ A < 2 $ o sistema apresenta apenas a solução trivial.
© Para $ A = 2,31 $, as composições das duas fases líquidas em equilíbrio foram calculadas resolvendo a equação $ 2,31(1 - 2 x_{1}^{\alpha}) = \ln \left( \frac{1 - x_{1}{\alpha}}{x_{1}{\alpha}} \right) $, determinando assim $ x_{1}^{\alpha} $ e $ x_{2}^{\alpha} $.