Duas substâncias a e b formam duas fases líquidas alpha e beta quando misturadas. Medidas precisas da composição destas fases forneceram xa^alpha=0.9788 e xa^beta=0.0212. Uma possível extensão da equação de Margules de 1 parâmetro para misturas ternárias é a seguinte: g^E / R T=Aa b xa xb+Aa c xa xc+Ab c xb xc. Se uma quantidade suficientemente pequena de c é adicionada à mistura bifásica da letra (a) de modo que as composições das fases não se alteram apreciavelmente, qual será a partição xc^alpha / xc^beta se Aa c=1 e Ab c=2?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como duas substâncias, a e b, formam duas fases líquidas diferentes quando misturadas. A gente tem algumas informações sobre as proporções dessas substâncias nas fases α e β. Além disso, temos uma equação chamada Equação de Margules para misturas ternárias que nos ajuda a entender como uma terceira substância, c, se comporta quando adicionada a essa mistura. Nosso objetivo é descobrir como a substância c se distribui entre as duas fases α e β, dado que certos parâmetros na equação de Margules são fornecidos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre termodinâmica de misturas e como as atividades das substâncias se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Equação de Margules que foi dada:
g^ERT = Aab xa xb + Aac xa xc + Abc xb xc
Aqui, $ g^{E} $ é a energia livre de Gibbs excessiva da mistura, R é a constante dos gases, T é a temperatura, $ A_{ij} $ são os parâmetros de interação entre as substâncias i e j, e $ x_{i} $ são as frações molares das substâncias.
Quando adicionamos uma pequena quantidade de c à mistura, queremos ver como ela se divide entre as fases α e β. Para isso, precisamos usar a condição de equilíbrio termodinâmico, que diz que o potencial químico de c deve ser igual nas duas fases.

Passo 3

Vamos calcular o potencial químico da substância c nas duas fases. O potencial químico $ \mu_{c} $ pode ser relacionado à atividade $ a_{c} $ pela fórmula:
muc
Como estamos adicionando uma pequena quantidade de c, podemos assumir que as atividades são proporcionais às frações molares multiplicadas pelos coeficientes de atividade, que derivam da equação de Margules. Assim, podemos escrever:
ac
Isso implica que:
muc = muc^circ + RT ln ac

Passo 4

Agora, vamos relacionar as atividades às frações molares e aos parâmetros de interação. A atividade de c em cada fase pode ser escrita como:
ac^alpha = gammac^alpha xc^alpha
ac^beta = gammac^beta xc^beta
Onde $ \gamma_{c}^{\alpha} $ e $ \gamma_{c}^{\beta} $ são os coeficientes de atividade de c nas fases α e β, respectivamente.
Os coeficientes de atividade podem ser derivados da Equação de Margules. Para simplificar, vamos considerar que a adição de c é pequena, então podemos linearizar as expressões.

Passo 5

Derivando os coeficientes de atividade a partir da Equação de Margules:
ln gammac^alpha = partial (g^E/RT)partial xc^alpha - ln xc^alpha
ln gammac^beta = partial (g^E/RT)partial xc^beta - ln xc^beta
Calculando as derivadas usando a equação de Margules:
Para a fase α:
partial (g^E/RT)partial xc^alpha = Aac xa^alpha + Abc xb^alpha
Para a fase β:
partial (g^E/RT)partial xc^beta = Aac xa^beta + Abc xb^beta

Passo 6

Substituindo os valores dados:
Sabemos que $ A_{ac} = 1 $ e $ A_{bc} = 2 $. Além disso, como as frações molares de a nas fases α e β são $ x_{a}^{\alpha} = 0.9788 $ e $ x_{a}^{\beta} = 0.0212 $, respectivamente, podemos encontrar $ x_{b} $ em cada fase (já que $ x_{b} = 1 - x_{a} - x_{c} $, e $ x_{c} $ é muito pequeno).
Para simplificar, assumimos que $ x_{b}^{\alpha} \approx 1 - x_{a}^{\alpha} = 0.0212 $ e $ x_{b}^{\beta} \approx 1 - x_{a}^{\beta} = 0.9788 $.
Portanto:
Para α:
Aac = 1
Para β:
Abc = 2

Passo 7

Agora, calculamos os coeficientes de atividade:
Para α:
ln gammac^alpha = 1.0212 - ln xc^alpha
Para β:
ln gammac^beta = 1.9788 - ln xc^beta
Como a razão das atividades é igual a 1:
gammac^alpha xc^alphagammac^beta xc^beta = 1
Isso simplifica para:
gammac^alphagammac^beta times xc^alphaxc^beta = 1

Passo 8

Resolvendo para $ \frac{x_{c}{\alpha}}{x_{c}{\beta}} $:
Primeiro, vamos isolar a razão das frações molares:
xc^alphaxc^beta
Substituindo os coeficientes de atividade:
xc^alphaxc^beta = gammac^betagammac^alpha
Calculando:
gammac^betagammac^alpha = exp( ln gammac^beta - ln gammac^alpha ) = exp(1.9788 - 1.0212) = exp(0.9576)

Resposta

A partição $ \frac{x_{c}{\alpha}}{x_{c}{\beta}} $ é aproximadamente 2,606.

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