Duas substâncias a e b formam duas fases líquidas alpha e beta quando misturadas. Medidas precisas da composição destas fases forneceram xa^alpha=0.9788 e xa^beta=0.0212. Assumindo válida a equação de Margules com 1 parâmetro g^E / R T=Aa b xa xb, determine o valor da constante Aa b. Uma possível extensão da equação de Margules de 1 parâmetro para misturas ternárias é a seguinte: g^E / R T=Aa b xa xb+Aa c xa xc+Ab c xb xc.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas substâncias, $ a $ e $ b $, que quando misturadas formam duas fases líquidas diferentes, chamadas de $ \alpha $ e $ \beta $. As composições dessas fases foram medidas e temos $ x_{a}^{\alpha} = 0.9788 $ e $ x_{a}^{\beta} = 0.0212 $. A gente vai usar a equação de Margules com um parâmetro para encontrar a constante $ A_{ab} $. Para isso, precisamos entender um pouquinho sobre termodinâmica das misturas e como essa equação funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em equilíbrio químico entre duas fases, os potenciais químicos de cada componente devem ser iguais em ambas as fases. Ou seja, para o componente $ a $, temos:
a
E o mesmo vale para o componente $ b $:
mua^alpha = mua^beta

Passo 3

Agora, a equação de Margules que vamos usar é:
g^ERT = Aab xa xb
Aqui, $ g^{E} $ é a energia livre de excessos, $ R $ é a constante dos gases, $ T $ é a temperatura, e $ x_{a} $ e $ x_{b} $ são as frações molares dos componentes $ a $ e $ b $.

Passo 4

Para encontrar $ A_{ab} $, precisamos relacionar as composições das duas fases. Sabemos que no equilíbrio, a fugacidade de cada componente deve ser igual nas duas fases. Usando a expressão da fugacidade e considerando a equação de Margules, podemos derivar uma relação que nos permite calcular $ A_{ab} $.
Vamos expressar a fugacidade para o componente $ a $ na fase $ \alpha $ e $ \beta $:
Aab
Aab
Como $ f_{a}^{\alpha} = f_{a}^{\beta} $, podemos igualar as duas expressões.

Passo 5

Substituindo $ g^{E} $ pela equação de Margules:
g^E
Tomando o logaritmo de ambos os lados e reorganizando, conseguimos isolar $ A_{ab} $:
Agora, basta substituir os valores dados:
Sabemos que $ x_{b} = 1 - x_{a} $, então:
xa^alpha exp( ln xa^alpha + Aab xa^alpha xb^alpha ) = xa^beta exp( ln xa^beta + Aab xa^beta xb^beta )
Aab
Substituindo na fórmula:
Aab = ln(xa^alphaxa^beta)xa^alpha xb^alpha - xa^beta xb^beta
xb = 1 - xa
Ops! Parece que o denominador ficou zero, o que indica que precisamos revisar nosso processo. Na verdade, para o sistema binário em duas fases, podemos usar a razão das atividades para determinar $ A_{ab} $. A relação correta leva em conta que:
xb^alpha = 1 - 0.9788 = 0.0212
Então:
xb^beta = 1 - 0.0212 = 0.9788
Calculando:
Aab = ln(0.97880.0212)(0.9788)(0.0212) - (0.0212)(0.9788)
E:
Aab = ln(46.1321)0.02075 - 0.02075
Então:
Aab

Resposta

A constante $ A_{ab} $ é aproximadamente 4,01.

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