Duas substâncias
e
formam duas fases líquidas
e
quando misturadas. Medidas precisas da composição destas fases forneceram
e
. Assumindo válida a equação de Margules com 1 parâmetro
, determine o valor da constante
. Uma possível extensão da equação de Margules de 1 parâmetro para misturas ternárias é a seguinte:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas substâncias, $ a $ e $ b $, que quando misturadas formam duas fases líquidas diferentes, chamadas de $ \alpha $ e $ \beta $. As composições dessas fases foram medidas e temos $ x_{a}^{\alpha} = 0.9788 $ e $ x_{a}^{\beta} = 0.0212 $. A gente vai usar a equação de Margules com um parâmetro para encontrar a constante $ A_{ab} $. Para isso, precisamos entender um pouquinho sobre termodinâmica das misturas e como essa equação funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em equilíbrio químico entre duas fases, os potenciais químicos de cada componente devem ser iguais em ambas as fases. Ou seja, para o componente $ a $, temos:
E o mesmo vale para o componente $ b $:
Passo 3
Agora, a equação de Margules que vamos usar é:
Aqui, $ g^{E} $ é a energia livre de excessos, $ R $ é a constante dos gases, $ T $ é a temperatura, e $ x_{a} $ e $ x_{b} $ são as frações molares dos componentes $ a $ e $ b $.
Passo 4
Para encontrar $ A_{ab} $, precisamos relacionar as composições das duas fases. Sabemos que no equilíbrio, a fugacidade de cada componente deve ser igual nas duas fases. Usando a expressão da fugacidade e considerando a equação de Margules, podemos derivar uma relação que nos permite calcular $ A_{ab} $.
Vamos expressar a fugacidade para o componente $ a $ na fase $ \alpha $ e $ \beta $:
Como $ f_{a}^{\alpha} = f_{a}^{\beta} $, podemos igualar as duas expressões.
Passo 5
Substituindo $ g^{E} $ pela equação de Margules:
Tomando o logaritmo de ambos os lados e reorganizando, conseguimos isolar $ A_{ab} $:
Agora, basta substituir os valores dados:
Sabemos que $ x_{b} = 1 - x_{a} $, então:
Sabemos que $ x_{b} = 1 - x_{a} $, então:
Substituindo na fórmula:
Ops! Parece que o denominador ficou zero, o que indica que precisamos revisar nosso processo. Na verdade, para o sistema binário em duas fases, podemos usar a razão das atividades para determinar $ A_{ab} $. A relação correta leva em conta que:
Então:
Calculando:
E:
Então:
Resposta
A constante $ A_{ab} $ é aproximadamente 4,01.