Duas substâncias a e b formam duas fases líquidas alpha e beta quando misturadas. Medidas precisas da composição destas fases forneceram xa^alpha=0.9788 e xa^beta=0.0212. Assumindo válida a equação de Margules com 1 parâmetro g^E / R T=Aa b xa xb, determine o valor da constante Aa b. Uma possível extensão da equação de Margules de 1 parâmetro para misturas ternárias é a seguinte: g^E / R T=Aa b xa xb+Aa c xa xc+Ab c xb xc. Se uma quantidade suficientemente pequena de c é adicionada à mistura bifásica da letra (a) de modo que as composições das fases não se alteram apreciavelmente, qual será a partição xc^alpha / xc^beta se Aa c=1 e Ab c=2 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma mistura de duas substâncias, a e b, que formam duas fases líquidas diferentes, chamadas de alpha e beta. As composições das fases são dadas por xa^alpha=0.9788 e xa^beta=0.0212. A gente vai usar a equação de Margules com um parâmetro para encontrar a constante Aab. Além disso, tem uma segunda parte sobre adicionar uma terceira substância c e descobrir a partição dela entre as fases alpha e beta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a equação de Margules. Ela é usada para descrever as propriedades termodinâmicas de soluções líquidas, levando em conta as interações entre as moléculas das substâncias componentes. No caso com um parâmetro, a equação fica:
g^ERT = Aab xa xb
Onde:
  • g^E é a energia livre de excessos,
  • R é a constante dos gases,
  • T é a temperatura,
  • Aab é a constante de Margules que queremos encontrar,
  • xa e xb são as frações molares das substâncias a e b.

Passo 3

Dado que temos duas fases líquidas alpha e beta, podemos usar a condição de coexistência das fases, que diz que o potencial químico de cada componente é o mesmo nas duas fases. Para o componente a, isso fica:
mua^alpha = mua^beta
Sabendo que a derivada da energia livre em relação à fração molar dá o potencial químico, temos:
ln xa^alpha + partial (g^E/RT)partial xa = ln xa^beta + partial (g^E/RT)partial xa

Passo 4

Calculando a derivada da equação de Margules:
partial (g^E/RT)partial xa = Aab (xb - xa)
Agora, igualando os potenciais químicos nas duas fases:
ln xa^alpha + Aab (xb^alpha - xa^alpha) = ln xa^beta + Aab (xb^beta - xa^beta)

Passo 5

Sabemos que xb = 1 - xa, então podemos substituir:
ln xa^alpha + Aab (1 - xa^alpha - xa^alpha) = ln xa^beta + Aab (1 - xa^beta - xa^beta)
Simplificando:
ln xa^alpha + Aab (1 - 2xa^alpha) = ln xa^beta + Aab (1 - 2xa^beta)

Passo 6

Vamos rearranjar a equação para isolar Aab:
Aab (1 - 2xa^alpha - 1 + 2xa^beta) = ln xa^beta - ln xa^alpha
Simplificando:
Aab (2xa^beta - 2xa^alpha) = ln ( xa^betaxa^alpha )
Fatorando o 2:
2Aab (xa^beta - xa^alpha) = ln ( xa^betaxa^alpha )

Passo 7

Agora, isolamos Aab:
Aab = ln ( xa^betaxa^alpha ) 2(xa^beta - xa^alpha)
Substituindo os valores dados:
Aab = ln ( 0.02120.9788 ) 2(0.0212 - 0.9788)

Passo 8

Calculando os valores numéricos:
Primeiro, calculamos o logaritmo:
ln ( 0.02120.9788 ) = ln(0.0217) approx -3.83
E o denominador:
2(0.0212 - 0.9788) = 2(-0.9576) = -1.9152
Então,
Aab = -3.83 -1.9152 approx 2.0

Passo 9

Agora, vamos para a segunda parte do exercício. A gente adiciona uma quantidade pequena de uma terceira substância c à mistura bifásica sem alterar muito as composições das fases alpha e beta. Queremos encontrar a razão de partição xc^alpha / xc^beta sabendo que Aac = 1 e Abc = 2.

Passo 10

Usamos a extensão da equação de Margules para misturas ternárias:
g^ERT = Aab xa xb + Aac xa xc + Abc xb xc
Como a quantidade de c é pequena, podemos assumir que xc é muito pequeno em ambas as fases. Assim, as interações principais que afetam a partição de c são as relacionadas a a e b.

Passo 11

A condição de equilíbrio para o componente c entre as fases alpha e beta é:
muc^alpha = muc^beta
Calculando o potencial químico para c em cada fase:
ln xc^alpha + partial (g^E/RT)partial xc g|alpha = ln xc^beta + partial (g^E/RT)partial xc g|beta

Passo 12

Calculando a derivada para xc:
partial (g^E/RT)partial xc = Aac xa + Abc xb
Então, a condição de equilíbrio fica:
ln xc^alpha + Aac xa^alpha + Abc xb^alpha = ln xc^beta + Aac xa^beta + Abc xb^beta

Passo 13

Substituindo os valores conhecidos:
Sabemos que Aac = 1, Abc = 2, xa^alpha = 0.9788, xb^alpha = 1 - 0.9788 = 0.0212, xa^beta = 0.0212, xb^beta = 1 - 0.0212 = 0.9788.
Então:
ln xc^alpha + (1)(0.9788) + (2)(0.0212) = ln xc^beta + (1)(0.0212) + (2)(0.9788)
Calculando os termos:
ln xc^alpha + 0.9788 + 0.0424 = ln xc^beta + 0.0212 + 1.9576
Simplificando:
ln xc^alpha + 1.0212 = ln xc^beta + 1.9788

Passo 14

Rearranjando para relacionar os logaritmos:
ln xc^alpha - ln xc^beta = 1.9788 - 1.0212
ln ( xc^alphaxc^beta ) = 0.9576

Passo 15

Resolvendo para a razão de partição:
xc^alphaxc^beta = e^0.9576 approx 2.606

Resposta

A razão de partição xc^alpha / xc^beta é aproximadamente 2,606.

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