Duas substâncias a e b formam duas fases líquidas alpha e beta quando misturadas. Medidas precisas da composição destas fases forneceram xa^alpha=0.9788 e xa^beta=0.0212. Assumindo válida a equação de Margules com 1 parâmetro g^E / R T=Aa b xa xb, determine o valor da constante Aa b. Uma possível extensão da equação de Margules de 1 parâmetro para misturas ternárias é a seguinte: g^E / R T=Aa b xa xb+Aa c xa xc+Ab c xb xc. Para este modelo, determine ln gammac.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de duas substâncias, a e b, que formam duas fases líquidas chamadas alpha e beta quando misturadas. As composições dessas fases são dadas por xa^alpha=0.9788 e xa^beta=0.0212. A gente vai utilizar a equação de Margules com um parâmetro para determinar a constante Aab. Além disso, tem uma parte extra sobre uma mistura ternária onde precisamos encontrar ln gammac. Para resolver isso, vamos precisar entender como a equação de Margules funciona e aplicar alguns conceitos de termodinâmica das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira parte do exercício: determinar a constante Aab usando a equação de Margules com um parâmetro. A equação de Margules para uma mistura binária ( a e b) com um parâmetro é dada por:
g^ERT = Aab xa xb
Aqui, g^E é a energia livre de excessão, R é a constante dos gases, T é a temperatura, e xa, xb são as frações molares das substâncias a e b, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar Aab, precisamos utilizar a condição de equilíbrio entre as duas fases alpha e beta. No equilíbrio, as potenciais químicas de cada componente nas duas fases são iguais. Isso nos dá a seguinte relação para o componente a:
ln gammaa^alpha = ln gammaa^beta
Onde gammaa é o coeficiente de atividade do componente a. Usando a equação de Margules, temos:
ln gammaa = Aab xb^2
Aplicando isso para as fases alpha e beta, temos:
Aab (xb^alpha)^2 = Aab (xb^beta)^2

Passo 4

Sabemos que xb = 1 - xa, então podemos reescrever as frações molares de b nas fases alpha e beta:
xb^alpha = 1 - xa^alpha = 1 - 0.9788 = 0.0212
xb^beta = 1 - xa^beta = 1 - 0.0212 = 0.9788

Passo 5

Substituindo esses valores na equação de equilíbrio:
Aab (0.0212)^2 = Aab (0.9788)^2
Simplificando:
Aab times 0.000449 = Aab times 0.9572
Isso mostra que Aab deve ser zero para essa igualdade ser verdadeira, o que não faz sentido físico. Isso indica que precisamos revisar nossa abordagem.

Passo 6

Na verdade, para encontrar Aab, devemos usar a diferença nas atividades entre as duas fases. A condição de igualdade das atividades nos dá:
ln gammaa^alpha = ln gammaa^beta
Usando a equação de Margules:
Aab xb^alpha = Aab xb^beta
Isso simplifica para:
Aab (0.0212) = Aab (0.9788)
Novamente, isso sugere que Aab = 0, o que não é o caso. Parece que estamos perdendo algo na aplicação da teoria.

Passo 7

Vamos corrigir isso! A equação de Margules para atividades em uma mistura binária é:
ln gammaa = Aab xb^2
E para o componente b:
ln gammab = Aab xa^2
No equilíbrio, as atividades dos componentes devem ser iguais nas duas fases:
gammaa^alpha xa^alpha = gammaa^beta xa^beta
Substituindo as expressões das atividades:
e^Aab (xb^alpha)^2 xa^alpha = e^Aab (xb^beta)^2 xa^beta

Passo 8

Tomando o logaritmo de ambos os lados para simplificar:
Aab (xb^alpha)^2 + ln xa^alpha = Aab (xb^beta)^2 + ln xa^beta
Isolando Aab:
Aab [(xb^alpha)^2 - (xb^beta)^2] = ln ( xa^betaxa^alpha )

Passo 9

Agora, substituímos os valores conhecidos:
Aab [(0.0212)^2 - (0.9788)^2] = ln ( 0.02120.9788 )
Calculando os termos:
Aab [0.000449 - 0.9572] = ln (0.0217)
Aab (-0.9567) = -3.828

Passo 10

Isolando Aab:
Aab = -3.828-0.9567 approx 4.00

Resposta

A constante Aab é aproximadamente 4.00.

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