Durante a análise do comportamento termodinâmico do ar no estágio inicial de compressão de um motor a jato, um engenheiro usa um modelo pistão-cilindro. 0 cilindro contém 1,8 \mathrm{~kg} de ar a uma pressão de 90 kPa e temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. Em seguida, o ar é comprimido lentamente num processo politrópico com indice \mathrm{n}=1,3, até que o volume seja reduzido a um terço do volume inicial.
a) (1,0) Determine o trabatho realizado neste processo.
b) (2,0) Determine a transferência de calor para esse processo.

Passo 1

O enunciado dá um pistão-cilindro contendo m=1{,}8\:\mathrm{kg} de ar (gás ideal) em p_{1}=90\:\mathrm{kPa}, T_{1}=20^\circ\mathrm{C}=293\:\mathrm{K}. O ar é comprimido segundo um processo politrópico de índice n=1{,}3 até V_{2}=V_{1}/3. Pede-se:
a) o trabalho W realizado no processo (definido como W=\int p\,dV, positivo se o gás realiza trabalho sobre o pistão);
b) a transferência de calor Q.
Para resolver, usaremos as fórmulas do processo politrópico e a primeira lei da termodinâmica para gases ideais.

Passo 2

Calculamos o volume inicial V_{1} pela equação de estado
V_{1} \;=\;\frac{m\,R\,T_{1}}{p_{1}}
em que para o ar R=0{,}287\:\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Logo,
V_{1} \;=\;\frac{1{,}8\cdot0{,}287\cdot293}{90} \approx1{,}68\:\mathrm{m^{3}}.

Passo 3

Em processo politrópico p\,V^{n}=\text{const}, o trabalho é
W \;=\;\int_{V_{1}}^{V_{2}}p\,dV \;=\;\frac{p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{1-n}.
Para usar essa expressão, note que
p_{2}V_{2} = p_{1}V_{1}^{n}\,V_{2}^{1-n} = p_{1}V_{1}\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\,n-1} = p_{1}V_{1}\,3^{\,n-1}.

Passo 4

Calculamos 3^{\,n-1}=3^{0{,}3}\approx1{,}39 e então
W =\frac{p_{1}V_{1}\bigl(3^{\,n-1}-1\bigr)}{1-n} =\frac{151{,}36\,(1{,}39-1)}{1-1{,}3} \approx\frac{151{,}36\cdot0{,}39}{-0{,}3} \approx-196{,}8\:\mathrm{kJ}.
O sinal negativo indica que o gás recebe trabalho (isto é, o trabalho feito pelo gás é -196{,}8\:\mathrm{kJ}, ou seja, 196,8 kJ são feitos sobre o gás).

Passo 5

Pela relação politrópica de temperaturas,
\frac{T_{2}}{T_{1}} =\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\,n-1} =3^{0{,}3}\approx1{,}39 \quad\Longrightarrow\quad T_{2}\approx293\cdot1{,}39\approx407\:\mathrm{K}.
A variação de energia interna é
\Delta U = m\,c_{v}\,(T_{2}-T_{1}) =1{,}8\cdot0{,}718\cdot(407-293) \approx147{,}1\:\mathrm{kJ}.
Pela primeira lei Q=\Delta U+W,
Q \approx147{,}1 + (-196{,}8) \approx -49{,}7\:\mathrm{kJ}.
O sinal negativo indica que 49{,}7\:\mathrm{kJ} de calor saem do gás.

Resposta

a) O trabalho realizado pelo gás é W\approx -196{,}8\:\mathrm{kJ} (isto é, 196{,}8\:\mathrm{kJ} de trabalho são feitos sobre o gás).
b) A transferência de calor é Q\approx -49{,}7\:\mathrm{kJ} (isto é, 49{,}7\:\mathrm{kJ} de calor são rejeitados pelo gás).

Exercícios relacionados