E5.10 Um sistema de controle de segunda ordem possui a função de transferência em malha fechada T(s)=Y(s) / R(s). Seguem-se as especificaçōes do sistema para uma entrada em degrau:
(1) Máxima ultrapassagem percentual M.U.P. \leq 5 \%.
(2) Tempo de acomodação T_{s}<4 \mathrm{~s}.
(3) Instante de pico T_{p}<1 \mathrm{~s}.
Mostre a área admissível para os polos de T(s) de modo a alcançar a resposta desejada. Use um critério de acomodaçāo de 2 \% para determinar o tempo de acomodação.

Passo 1

Resumo do que o enunciado pede e dados fornecidos.
  • Temos um sistema de segunda ordem em malha fechada com função de transferência T(s)=Y(s)/R(s).
  • Especificações para resposta a um degrau:
    1. Máxima ultrapassagem percentual (M.U.P.) \leq 5\%.
    2. Tempo de acomodação T_{s}<4\\ \mathrm{s}. (Usar critério de 2\%.)
    3. Instante de pico T_{p}<1\\ \mathrm{s}.
  • Objetivo: determinar e mostrar a região admissível para os polos de T(s) no plano s que garante essas especificações.
Informações relevantes que foram dadas:
  • Os três requisitos numéricos acima (5%, T_s<4 s com 2% e T_p<1 s).
  • Podemos assumir a forma padrão dos polos de um sistema de segunda ordem subamortecido (pois o enunciado fala em ultrapassagem e tempo de pico).

Passo 2

Representação dos polos de um segundo ordem e significado das variáveis.
  • Para um par de polos complexos conjugados de um sistema de segunda ordem subamortecido usamos a parametrização padrão:
s_{1,2} = -\zeta \omega_n \pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2},
onde:
  • \zeta é o coeficiente de amortecimento (damping ratio), adimensional;
  • \omega_n é a frequência natural não amortecida, em rad/s;
  • \sigma = \zeta\omega_n é a parte real positiva do polo (note que no plano s o polo está em x=\operatorname{Re}(s)=-\sigma);
  • \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} é a frequência amortecida (parte imaginária em módulo).
  • Essas duas grandezas \zeta e \omega_n conectam-se diretamente com as especificações tempo de pico, overshoot e tempo de acomodação através de fórmulas conhecidas para resposta ao degrau.
Explico as fórmulas que vamos usar (cada uma é padrão e derivável da solução da EDO de segunda ordem):
  • Percentual de ultrapassagem (M.U.P. ou P.O.):
\text{M.U.P.} = 100\cdot e^{-\dfrac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}.
Aqui o expoente vem do decaimento exponencial da envoltória da resposta amortecida; maior \zeta → menor ultrapassagem.
  • Instante de pico:
T_p = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}} = \frac{\pi}{\omega_d}.
Isto porque o primeiro pico ocorre quando a fase do termo oscilatório atinge \pi.
  • Tempo de acomodação (critério de 2\%, aproximação usual para sistemas de segunda ordem):
T_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n} = \frac{4}{\sigma}.
Esta fórmula é uma aproximação prática muito usada em projeto/avaliação: garante que o termo exponencial e^{-\zeta\omega_n t} seja pequeno o bastante (2%).

Passo 3

Aplicando a condição da ultrapassagem \text{M.U.P.}\le 5\% para obter um limite em \zeta.
Começamos da fórmula da ultrapassagem e impomos a desigualdade:
100\cdot e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \le 5.
Dividindo por 100:
e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \le 0{,}05.
Tomando log natural (função monótona crescente) e lembrando que \ln(0{,}05)<0:
-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}} \le \ln(0{,}05).
Multiplicando por -1 (inverte o sinal):
\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}} \ge -\ln(0{,}05).
Calculemos numericamente -\ln(0{,}05):
-\ln(0{,}05) \approx 2{,}9957322736.
Agora isolamos \zeta. Quadrando ambos os lados (todos positivos):
\frac{\pi^2\zeta^2}{1-\zeta^2} \ge (2{,}9957322736)^2 \approx 8{,}974394.
Rearranjando:
\zeta^2\bigl(\pi^2 + 8{,}974394\bigr) \ge 8{,}974394,
logo
\zeta^2 \ge \frac{8{,}974394}{\pi^2 + 8{,}974394}.
Calculemos numericamente:
\zeta^2 \ge 0{,}476536\quad\Rightarrow\quad \zeta \ge \sqrt{0{,}476536}\approx 0{,}6903.
Portanto, para ter \text{M.U.P.}\le 5\% precisamos de
\zeta \ge 0{,}6903\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Aplicando a condição do instante de pico T_p<1\\ \mathrm{s} para obter uma desigualdade em \omega_n (ou em \omega_d).
Da fórmula do tempo de pico:
T_p = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}} < 1.
Isto implica
\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} > \pi.
Mas \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=\omega_d, então obtemos a forma direta e muito simples:
\omega_d > \pi\quad(\text{ou seja }|\,\operatorname{Im}(s)\,|>\pi).
Numericamente \pi\approx 3{,}1416, logo a parte imaginária em módulo dos polos deve ser maior do que 3{,}1416\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Aplicando a condição do tempo de acomodação T_s<4\\ \mathrm{s} (critério de 2\%).
Usando a aproximação usual:
T_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n} < 4.
Isto implica
\zeta\omega_n > 1.
Lembremos que \sigma=\zeta\omega_n é a parte real positiva associada ao polo (com Re (s)=-\sigma). Então esta condição é
\sigma > 1.

Passo 6

Expressando todas as condições em termos de \zeta,\\ \omega_n e em termos das coordenadas do polo (\sigma,\omega_d).
Condições obtidas até agora:
  • Do overshoot: \zeta \ge 0{,}6903.
  • Do pico: \omega_d > \pi.
  • Do acomodação: \sigma=\zeta\omega_n > 1.
Podemos reescrever a condição \zeta\ge\zeta_{\min} em termos de \sigma e \omega_d. Note que
\zeta=\frac{\sigma}{\sqrt{\sigma^2+\omega_d^2}} \ge \zeta_{\min}.
Isolando \omega_d:
\sigma \ge \zeta_{\min}\sqrt{\sigma^2+\omega_d^2}
\sigma^2 \ge \zeta_{\min}^2(\sigma^2+\omega_d^2)
\sigma^2(1-\zeta_{\min}^2) \ge \zeta_{\min}^2\omega_d^2
\omega_d^2 \le \frac{1-\zeta_{\min}^2}{\zeta_{\min}^2}\sigma^2.
Tomando raiz e definindo uma constante k:
\omega_d \le k\,\sigma,\quad\text{onde}\quad k=\sqrt{\frac{1-\zeta_{\min}^2}{\zeta_{\min}^2}}.
Usando \zeta_{\min}\approx 0{,}6903 obtemos numericamente
k \approx \sqrt{\frac{1-0{,}476536}{0{,}476536}}=\sqrt{1{,}098675}\approx 1{,}04866.
Portanto a exigência de \zeta se traduz em
\omega_d \le 1{,}04866\,\sigma.
Resumo das desigualdades em (\sigma,\omega_d):
  • \omega_d > \pi.
  • \sigma > 1.
  • \omega_d \le 1{,}04866\,\sigma.

Passo 7

Combinação das desigualdades e determinação do limite mínimo para \sigma.
Para que exista \omega_d que satisfaça simultaneamente \omega_d>\pi e \omega_d\le 1{,}04866\,\sigma é necessário que
1{,}04866\,\sigma > \pi \quad\Rightarrow\quad \sigma > \frac{\pi}{1{,}04866}.
Compute:
\frac{\pi}{1{,}04866}\approx \frac{3{,}14159}{1{,}04866}\approx 2{,}995.
Portanto é necessário (e, neste contexto, suficiente) que
\sigma > 2{,}995.
Observe que esta condição \sigma>2{,}995 é mais restritiva que \sigma>1 exigida por T_s<4 s; logo a condição de pico + overshoot força um deslocamento real mínimo maior.
Assim as condições finais em (\sigma,\omega_d) que garantem as três especificações são:
  • \sigma > 2{,}995,
  • \pi < \omega_d \le 1{,}04866\,\sigma.

Passo 8

Tradução das condições para o plano s (coordenadas x=\operatorname{Re}(s), y=\operatorname{Im}(s)) e interpretação geométrica.
Recordando \sigma = -\operatorname{Re}(s) (pois polos s=-\sigma\pm j\omega_d), as desigualdades tornam-se:
  • -\operatorname{Re}(s) > 2{,}995 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{Re}(s) < -2{,}995.
  • \pi < |\operatorname{Im}(s)| \le 1{,}04866\,(-\operatorname{Re}(s)).
Interpretação geométrica (visualização mental do conjunto de polos aceitáveis):
  • A região está no semiplano esquerdo do plano s (Re negativa).
  • Deve estar à esquerda da reta vertical \operatorname{Re}(s)=-2{,}995.
  • A parte imaginária em módulo deve ser maior que \pi (ou seja, fora da faixa |\operatorname{Im}(s)|\le\pi).
  • Além disso os polos devem ficar dentro de um “cone” que sai da origem com inclinação dada por k: |\operatorname{Im}(s)| \le 1{,}04866\cdot(-\operatorname{Re}(s)). Esse cone corresponde aos polos com \zeta\ge 0{,}6903.
  • A região admissível é a interseção: esquerda de -2{,}995, fora da faixa |\operatorname{Im}(s)|\le\pi, e dentro do cone mencionado. Há simetria em relação ao eixo real (polos conjugados).

Passo 9

Exemplo prático (para te dar confiança sobre como escolher polos na prova).
  • Por exemplo, escolha \sigma=3{,}5 (ou seja polo em \operatorname{Re}(s)=-3{,}5). Então 1{,}04866\sigma\approx 3{,}67. Podemos escolher \omega_d=3{,}5 (cumpre \pi<3{,}5\le 3{,}67). O polo fica em
s = -3{,}5 \pm j\,3{,}5,
e satisfaz todas as três especificações (M.U.P. menor que 5\%, T_p<1 s e T_s<4 s) — é uma maneira rápida de conferir se a sua escolha de polos está dentro da região admissível durante a prova.

Resposta

\zeta_{\min}\approx 0{,}6903 (para \text{M.U.P.}\le 5\%)
\operatorname{Re}(s) < -2{,}995
\pi < |\operatorname{Im}(s)| \le 1{,}04866\cdot(-\operatorname{Re}(s))

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