O efeito Joule-Thomson descreve a variação da temperatura de um fluido quando é forçado através de uma válvula, enquanto mantido isolado, de modo que nenhum calor seja trocado com o ambiente. Esse procedimento de válvula de estrangulamento. O mesmo ocorre em condição de entalpia constante, de forma que a grandeza que mede esse efeito é conhecida como Coeficiente de Joule-Thomson, sendo descrita pela seguinte derivada parcial:
\mu_{J T}=\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{H}
Essa é uma quantidade medida experimentalmente, entretanto ela está relacionada ao C_{P} e ao comportamento das propriedades volumétricas do fluido ( P, V e T ). Diante disto:
a) Desenvolva esta expressão para \mu_{J T} como função de C_{P}, P, V e T;
b) Aplique a hipótese do comportamento do gás ideal à expressão desenvolvida no item (a);
c) Aplique a hipótese do comportamento do fluído incompressível à expressão desenvolvida no item (a);
d) Aplique a hipótese da expansividade volumétrica e compressibilidade isotérmica constantes à expressão desenvolvida no item (a).

Passo 1

O enunciado pede para achar
\displaystyle \mu_{JT} = \Bigl(\frac{\partial T}{\partial P}\Bigr)_{H}
e expressá-lo em termos de C_{P}, P, V e T. Para isso usamos a definição de entalpia H e seu diferencial em função de T e P. Sabemos que
dH = C_{P}\,dT + \Bigl[V - T\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}\Bigr]\,dP.

Passo 2

No estrangulamento entálpico temos dH=0. Logo
0 = C_{P}\,dT + \Bigl[V - T\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}\Bigr]\,dP \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{\partial T}{\partial P}\Bigr)_{H} = -\,\frac{V - T\bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\bigr)_{P}}{C_{P}}.
Reescrevendo o sinal, obtemos a expressão geral
\boxed{\mu_{JT} = \Bigl(\frac{\partial T}{\partial P}\Bigr)_{H} = \frac{1}{C_{P}}\Bigl[T\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P} - V\Bigr].}

Passo 3

Para o gás ideal usamos a equação de estado
\displaystyle V = \frac{R\,T}{P}. Então
\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P} = \frac{R}{P},
e
T\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P} - V = T\frac{R}{P} - \frac{R\,T}{P} = 0.
Logo
\displaystyle \mu_{JT} = 0.

Passo 4

Para um fluido incompressível tomamos V= constante, logo
\displaystyle \Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}=0.
Na expressão geral:
\mu_{JT} = \frac{1}{C_{P}}\bigl[\,T\cdot0 - V\bigr] = -\,\frac{V}{C_{P}}.

Passo 5

Se a expansividade volumétrica
\displaystyle \alpha = \frac{1}{V}\bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\bigr)_{P}
e a compressibilidade isotérmica
\displaystyle \kappa_{T} = -\frac{1}{V}\bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\bigr)_{T}
forem constantes, então
\displaystyle (\partial V/\partial T)_{P} = \alpha\,V.
Substituindo na fórmula geral:
\mu_{JT} = \frac{1}{C_{P}}\bigl[T\,(\alpha V) - V\bigr] = \frac{V}{C_{P}}\bigl(T\,\alpha - 1\bigr).

Resposta

a) \displaystyle \mu_{JT}=\frac{1}{C_{P}}\Bigl[T\bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\bigr)_{P}-V\Bigr]
b) Gás ideal: \displaystyle \mu_{JT}=0
c) Fluido incompressível: \displaystyle \mu_{JT}=-\frac{V}{C_{P}}
d) \alpha e \kappa_{T} constantes: \displaystyle \mu_{JT}=\frac{V}{C_{P}}\bigl(T\,\alpha -1\bigr)

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