Um eixo de aço vazado tem diâmetro externo
e diâmetro interno
100 mm . O aço tem módulo de elasticidade de cisalhamento
.
Para um torque aplicado de
, determine as quantidades a seguir: (a) tensão de cisalhamento
na superfície externa do eixo; (b) tensão de cisalhamento
na superfície interna, e (c) razão de torção
(graus por metro).
Para um torque aplicado de
Passo 1
O enunciado pede três coisas para um eixo de aço vazado submetido a um torque aplicado:
- (a) a tensão de cisalhamento na superfície externa do eixo, chamada
; - (b) a tensão de cisalhamento na superfície interna do eixo, chamada
; - (c) a razão de torção
, em graus por metro (ou seja, ângulo de torção por unidade de comprimento).
As informações fornecidas são:
Convertendo para unidades do SI (m e Pa):
Passo 2
Explicação da teoria necessária (fórmulas e significado das variáveis).
Quando um torque
age num eixo circular, a tensão de cisalhamento a uma distância radial
do centro é dada por
onde:
-
é a tensão de cisalhamento em Pa no raio ; -
é o torque aplicado em N·m; -
é o momento polar de inércia da seção transversal (também chamado de segunda área polar), com unidade ; -
é a distância radial (m) medida a partir do centro da seção até o ponto onde se calcula a tensão.
Para uma seção circular vazada (anel circular) com diâmetros externo e interno
e
, o momento polar
é
Aqui
e
devem estar em metros.
A razão de torção (ângulo de torção por comprimento) em radianos por metro é dada por a fórmula da torção para eixos circulares:
onde
é o ângulo (radianos) e
é o eixo longitudinal (m). Para transformar para graus por metro multiplicamos por
.
Passo 3
Cálculo do momento polar
.
Primeiro calculo
e
:
Diferença:
Agora aplico a fórmula de
:
Calculo numérico:
Passo 4
Cálculo da tensão de cisalhamento na superfície externa
.
A fórmula é
. Na superfície externa
:
Substituindo:
Calculo passo a passo:
Convertendo para MPa:
Também vale notar a propriedade linear:
cresce com
, logo a tensão máxima está na superfície externa.
Passo 5
Cálculo da tensão de cisalhamento na superfície interna
.
Na superfície interna
:
Aplicando a mesma fórmula:
Cálculo:
Convertendo para MPa:
Verificação rápida: a razão
, o que confere com os valores acima.
Passo 6
Cálculo da razão de torção
(graus por metro).
Primeiro obtenho a razão em radianos por metro:
Calculo do denominador:
Logo
Agora converto para graus por metro usando
graus:
Passo 7
Resumo numérico (valores arredondados com precisão razoável para engenharia):