Um eixo de aço vazado tem diâmetro externo d_{2}=150 \mathrm{~mm} e diâmetro interno d_{1}= 100 mm . O aço tem módulo de elasticidade de cisalhamento G=75 \mathrm{GPa}.
Para um torque aplicado de 16 k N . m, determine as quantidades a seguir: (a) tensão de cisalhamento \tau_{2} na superfície externa do eixo; (b) tensão de cisalhamento \tau_{1} na superfície interna, e (c) razão de torção \theta (graus por metro).

Passo 1

O enunciado pede três coisas para um eixo de aço vazado submetido a um torque aplicado:
  • (a) a tensão de cisalhamento na superfície externa do eixo, chamada \tau_{2};
  • (b) a tensão de cisalhamento na superfície interna do eixo, chamada \tau_{1};
  • (c) a razão de torção \theta, em graus por metro (ou seja, ângulo de torção por unidade de comprimento).
As informações fornecidas são:
d_{2}=150\\ \text{mm},\qquad d_{1}=100\\ \text{mm},
G=75\\ \text{GPa},\qquad T=16\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Convertendo para unidades do SI (m e Pa):
d_{2}=0{,}150\\ \text{m},\quad d_{1}=0{,}100\\ \text{m},
T=16{,}000\\ \text{N}\cdot\text{m},\quad G=75\times10^{9}\\ \text{Pa}.

Passo 2

Explicação da teoria necessária (fórmulas e significado das variáveis).
Quando um torque T age num eixo circular, a tensão de cisalhamento a uma distância radial r do centro é dada por
\tau(r)=\frac{T\,r}{J},
onde:
  • \tau(r) é a tensão de cisalhamento em Pa no raio r;
  • T é o torque aplicado em N·m;
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (também chamado de segunda área polar), com unidade \text{m}^4;
  • r é a distância radial (m) medida a partir do centro da seção até o ponto onde se calcula a tensão.
Para uma seção circular vazada (anel circular) com diâmetros externo e interno d_{2} e d_{1}, o momento polar J é
J=\frac{\pi}{32}\bigl(d_{2}^{4}-d_{1}^{4}\bigr).
Aqui d_2 e d_1 devem estar em metros.
A razão de torção (ângulo de torção por comprimento) em radianos por metro é dada por a fórmula da torção para eixos circulares:
\frac{d\varphi}{dx}=\frac{T}{G\,J},
onde \varphi é o ângulo (radianos) e x é o eixo longitudinal (m). Para transformar para graus por metro multiplicamos por 180/\pi.

Passo 3

Cálculo do momento polar J.
Primeiro calculo d_{2}^{4} e d_{1}^{4}:
d_{2}^{4}=(0{,}150)^{4}=0{,}00050625\\ \text{m}^{4},
d_{1}^{4}=(0{,}100)^{4}=0{,}00010000\\ \text{m}^{4}.
Diferença:
d_{2}^{4}-d_{1}^{4}=0{,}00040625\\ \text{m}^{4}.
Agora aplico a fórmula de J:
J=\frac{\pi}{32}\cdot 0{,}00040625.
Calculo numérico:
J=\frac{\pi\cdot 0{,}00040625}{32}\approx 3{,}98838\times 10^{-5}\\ \text{m}^{4}.

Passo 4

Cálculo da tensão de cisalhamento na superfície externa \tau_{2}.
A fórmula é \tau(r)=\dfrac{T\,r}{J}. Na superfície externa r_{2}=d_{2}/2:
r_{2}=\frac{0{,}150}{2}=0{,}075\\ \text{m}.
Substituindo:
\tau_{2}=\frac{T\,r_{2}}{J}=\frac{16{,}000\cdot 0{,}075}{3{,}98838\times10^{-5}}.
Calculo passo a passo:
16{,}000\cdot 0{,}075=1{,}200\\ \text{N}\cdot\text{m},
\tau_{2}=\frac{1{,}200}{3{,}98838\times10^{-5}}\\ \text{Pa}\approx 3{,}0084\times10^{7}\\ \text{Pa}.
Convertendo para MPa:
\tau_{2}\approx 30{,}08\\ \text{MPa}.
Também vale notar a propriedade linear: \tau cresce com r, logo a tensão máxima está na superfície externa.

Passo 5

Cálculo da tensão de cisalhamento na superfície interna \tau_{1}.
Na superfície interna r_{1}=d_{1}/2:
r_{1}=\frac{0{,}100}{2}=0{,}050\\ \text{m}.
Aplicando a mesma fórmula:
\tau_{1}=\frac{T\,r_{1}}{J}=\frac{16{,}000\cdot 0{,}050}{3{,}98838\times10^{-5}}.
Cálculo:
16{,}000\cdot 0{,}050=800\\ \text{N}\cdot\text{m},
\tau_{1}=\frac{800}{3{,}98838\times10^{-5}}\\ \text{Pa}\approx 2{,}0056\times10^{7}\\ \text{Pa}.
Convertendo para MPa:
\tau_{1}\approx 20{,}06\\ \text{MPa}.
Verificação rápida: a razão \tau_{1}/\tau_{2}=r_{1}/r_{2}=0{,}050/0{,}075=2/3, o que confere com os valores acima.

Passo 6

Cálculo da razão de torção \theta (graus por metro).
Primeiro obtenho a razão em radianos por metro:
\left(\frac{d\varphi}{dx}\right)=\frac{T}{G\,J}=\frac{16{,}000}{75\times10^{9}\cdot 3{,}98838\times10^{-5}}.
Calculo do denominador:
G\,J=75\times10^{9}\cdot 3{,}98838\times10^{-5}\approx 2{,}99128\times10^{6}.
Logo
\frac{d\varphi}{dx}\approx\frac{16{,}000}{2{,}99128\times10^{6}}\\ \text{rad/m}\approx 5{,}34765\times10^{-3}\\ \text{rad/m}.
Agora converto para graus por metro usando 1\\ \text{rad}=180/\pi graus:
\theta\\ (\text{graus/m})=\left(\frac{d\varphi}{dx}\right)\cdot\frac{180}{\pi}\approx 5{,}34765\times10^{-3}\cdot 57{,}29578\approx 0{,}30654\\ \text{graus/m}.

Passo 7

Resumo numérico (valores arredondados com precisão razoável para engenharia):
\tau_{2}\approx 30{,}08\\ \text{MPa},
\tau_{1}\approx 20{,}06\\ \text{MPa},
\theta\approx 0{,}3065\\ \text{graus/m}.

Resposta

\tau_{2}=30{,}08\\ \text{MPa}
\tau_{1}=20{,}06\\ \text{MPa}
\theta=0{,}3065\\ \text{graus/m}

Exercícios relacionados