Calcule as expressões: u^{\dagger} u, \bar{u} u, v^{\dagger} v e \bar{v} v.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as normas e as “bar–normas” dos espinores de Dirac u(p) e v(p), ou seja
\bullet u^{\dagger}u e v^{\dagger}v, que envolvem simplesmente o produto interno usual,
\bullet \bar u\,u e \bar v\,v, em que \bar\psi=\psi^{\dagger}\gamma^{0}.
O conteúdo aqui é a normalização canônica dos espinores em representação de Dirac, usando explicitamente as componentes altas e baixas.

Passo 2

No rep. de Dirac escolhemos para cada helicidade s os spinores de duas componentes \chi^{s} e \xi^{s}, normalizados por
\chi^{s\dagger}\chi^{r}=\xi^{s\dagger}\xi^{r}=\delta^{sr}.
Então os espinores de quatro componentes são
u^{s}(p)= \begin{pmatrix} \sqrt{E+m}\,\chi^{s}\\[6pt] \displaystyle\frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}}{\sqrt{E+m}}\,\chi^{s} \end{pmatrix}, \qquad v^{s}(p)= \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}}{\sqrt{E+m}}\,\xi^{s}\\[6pt] \sqrt{E+m}\,\xi^{s} \end{pmatrix},
onde E=\sqrt{\mathbf{p}^{2}+m^{2}} e \boldsymbol{\sigma} são as matrizes de Pauli.]

Passo 3

Calculemos primeiro o produto interno usual
u^{\dagger}u =\bigl(\sqrt{E+m}\,\chi^{\dagger},\;\frac{\chi^{\dagger}\,\boldsymbol{\sigma}\!\cdot\!\mathbf{p}}{\sqrt{E+m}}\bigr) \begin{pmatrix} \sqrt{E+m}\,\chi\\[3pt] \displaystyle\frac{\boldsymbol{\sigma}\!\cdot\!\mathbf{p}}{\sqrt{E+m}}\,\chi \end{pmatrix}.
Isso dá
u^{\dagger}u =(E+m)\,\chi^{\dagger}\chi +\frac{1}{E+m}\,\chi^{\dagger}(\boldsymbol{\sigma}\!\cdot\!\mathbf{p})^{2}\chi =(E+m)+\frac{p^{2}}{E+m}=2E,
pois (\boldsymbol{\sigma}\!\cdot\!\mathbf{p})^{2}=p^{2} e \chi^{\dagger}\chi=1.
De modo análogo,
v^{\dagger}v=2E.]

Passo 4

Agora usamos \bar\psi=\psi^{\dagger}\gamma^{0}, com
\gamma^{0}=\begin{pmatrix}I&0\\\ 0&-I\end{pmatrix}.
Logo
\bar u\,u =u^{\dagger}\gamma^{0}u =(E+m)\,\chi^{\dagger}\chi -\frac{p^{2}}{E+m}\,\chi^{\dagger}\chi =2m,
e
\bar v\,v =v^{\dagger}\gamma^{0}v =\frac{p^{2}}{E+m}\,\xi^{\dagger}\xi -(E+m)\,\xi^{\dagger}\xi =-2m.

Resposta

u^{\dagger}u = 2E \bar u\,u = 2m v^{\dagger}v = 2E \bar v\,v = -2m