Dados os pontos P(1,-3,5), Q(2,4,6) e R(0,3,8), determine: (a) os vetores posição de P e R, (b) o vetor distância \mathbf{r}_{Q R}, (c) a distância entre Q e R.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço tridimensional, P(1,-3,5), Q(2,4,6) e R(0,3,8), e pede:
– (a) os vetores posição de P e de R,
– (b) o vetor distância de Q até R,
– (c) a distância entre Q e R.
Vamos usar os conceitos de vetor posição (que aponta da origem ao ponto), vetor deslocamento (diferença de vetores posição) e norma de um vetor (magnitude euclidiana).

Passo 2

O vetor posição de um ponto (x,y,z) é
\mathbf{r} = \langle x,\,y,\,z\rangle.
Aplicando isso a P e R, temos
\mathbf{r}_P = \langle 1,\,-3,\,5\rangle \quad\text{e}\quad \mathbf{r}_R = \langle 0,\,3,\,8\rangle.

Passo 3

O vetor distância de Q até R, denotado \mathbf{r}_{Q R}, é o vetor deslocamento
\mathbf{r}_{Q R} = \mathbf{r}_R - \mathbf{r}_Q.
Primeiro escrevemos
\mathbf{r}_Q = \langle 2,\,4,\,6\rangle,
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\mathbf{r}_{Q R} = \langle 0,\,3,\,8\rangle \;-\;\langle 2,\,4,\,6\rangle =\langle 0-2,\;3-4,\;8-6\rangle =\langle -2,\,-1,\,2\rangle.

Passo 4

A distância entre Q e R é a norma do vetor \mathbf{r}_{Q R}, ou seja
\|\mathbf{r}_{Q R}\| =\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+(2)^2} =\sqrt{4+1+4} =\sqrt{9} =3.

Resposta

(a) \mathbf{r}_P = \langle 1,-3,5\rangle, \mathbf{r}_R = \langle 0,3,8\rangle
(b) \mathbf{r}_{Q R} = \langle -2,-1,2\rangle
(c) d(Q,R)=3