Obtenha a lei de composição de velocidades relativistas.

Passo 1

O enunciado pede para obter a lei de composição de velocidades em Relatividade Restrita. Vamos considerar dois referenciais inerciais S e S' em configuração padrão, onde S' se move com velocidade constante v ao longo do eixo x de S. Para resolver, usaremos as transformações de Lorentz para deslocamentos e tempos e definiremos as componentes de velocidade em cada referencial.

Passo 2

Em Relatividade Restrita, as transformações de Lorentz para um deslocamento infinitesimal entre S e S' são
\mathrm{d}x = \gamma\bigl(\mathrm{d}x' + v\,\mathrm{d}t'\bigr), \quad \mathrm{d}y = \mathrm{d}y', \quad \mathrm{d}z = \mathrm{d}z', \quad \mathrm{d}t = \gamma\!\Bigl(\mathrm{d}t' + \frac{v\,\mathrm{d}x'}{c^2}\Bigr),
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
e c é a velocidade da luz no vácuo.

Passo 3

Definimos as componentes da velocidade da partícula em S' por
u'_x = \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}, \quad u'_y = \frac{\mathrm{d}y'}{\mathrm{d}t'}, \quad u'_z = \frac{\mathrm{d}z'}{\mathrm{d}t'}.
No referencial S, as componentes são
u_x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}, \quad u_y = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}, \quad u_z = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}.

Passo 4

Para a componente paralela a v (eixo x) temos
u_x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\gamma\bigl(\mathrm{d}x' + v\,\mathrm{d}t'\bigr)} {\gamma\!\Bigl(\mathrm{d}t' + \frac{v\,\mathrm{d}x'}{c^2}\Bigr)} = \frac{\frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'} + v}{\,1 + \frac{v}{c^2}\,\frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}\,} = \frac{u'_x + v}{1 + \frac{v\,u'_x}{c^2}}.

Passo 5

Para as componentes perpendiculares a v (eixos y e z) segue
u_y = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}y'}{\gamma\bigl(\mathrm{d}t' + \frac{v\,\mathrm{d}x'}{c^2}\bigr)} = \frac{u'_y}{\gamma\bigl(1 + \frac{v\,u'_x}{c^2}\bigr)},
u_z = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}z'}{\gamma\bigl(\mathrm{d}t' + \frac{v\,\mathrm{d}x'}{c^2}\bigr)} = \frac{u'_z}{\gamma\bigl(1 + \frac{v\,u'_x}{c^2}\bigr)}.

Resposta

u_x = \frac{u'_x + v}{1 + \dfrac{v\,u'_x}{c^2}}, \quad u_y = \frac{u'_y}{\gamma\bigl(1 + \dfrac{v\,u'_x}{c^2}\bigr)}, \quad u_z = \frac{u'_z}{\gamma\bigl(1 + \dfrac{v\,u'_x}{c^2}\bigr)},
com \displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}.