7.5 O que é o passo do comutador?
Passo 1
O enunciado pergunta “O que é o passo do comutador?”, dentro do contexto de métodos de decomposição de operadores não comutativos (por exemplo, esquemas de splitting ou construções usando a fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff). Para responder, vamos precisar:
– Saber a definição de comutador de dois operadores e
.
– Usar a expansão de Baker–Campbell–Hausdorff para mostrar como um certo produto de exponenciais gera o comutador.
– Saber a definição de comutador de dois operadores
– Usar a expansão de Baker–Campbell–Hausdorff para mostrar como um certo produto de exponenciais gera o comutador.
Passo 2
Definimos primeiro o comutador de dois operadores
e
como
Esse objeto mede o quanto
e
“não comutam”.
Passo 3
O “passo do comutador” é a sequência de quatro exponentes que, por meio da expansão de Baker–Campbell–Hausdorff, gera exatamente o comutador em ordem
. Concretamente, definimos
Pela fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff, para
pequeno obtemos
Passo 4
Em palavras, esse produto de quatro exponentes – que chamamos de “passo do comutador” – é o gadget que permite inserir o termo
dentro de esquemas de aproximação de
ou de outras composições. Ele aparece como bloco básico em construções de ordem superior, pois a ordem de erro
já é compatível com muitos métodos de splitting.
Resposta
O passo do comutador é justamente a sequência
que, via expansão de Baker–Campbell–Hausdorff, gera uma etapa de ordem
na forma
mais termos de ordem superior.