7.5 O que é o passo do comutador?

Passo 1

O enunciado pergunta “O que é o passo do comutador?”, dentro do contexto de métodos de decomposição de operadores não comutativos (por exemplo, esquemas de splitting ou construções usando a fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff). Para responder, vamos precisar:
– Saber a definição de comutador de dois operadores A e B.
– Usar a expansão de Baker–Campbell–Hausdorff para mostrar como um certo produto de exponenciais gera o comutador.

Passo 2

Definimos primeiro o comutador de dois operadores A e B como
[A,B] \;=\; A\,B \;-\; B\,A.
Esse objeto mede o quanto A e B “não comutam”.

Passo 3

O “passo do comutador” é a sequência de quatro exponentes que, por meio da expansão de Baker–Campbell–Hausdorff, gera exatamente o comutador em ordem t^2. Concretamente, definimos
S(t) \;=\; e^{\,tA}\;e^{\,tB}\;e^{-\,tA}\;e^{-\,tB}.
Pela fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff, para t pequeno obtemos
S(t) =\exp\Bigl(t^2\,[A,B]\;+\;O(t^3)\Bigr).

Passo 4

Em palavras, esse produto de quatro exponentes – que chamamos de “passo do comutador” – é o gadget que permite inserir o termo [A,B] dentro de esquemas de aproximação de e^{t(A+B)} ou de outras composições. Ele aparece como bloco básico em construções de ordem superior, pois a ordem de erro O(t^3) já é compatível com muitos métodos de splitting.

Resposta

O passo do comutador é justamente a sequência
e^{\,tA}\;e^{\,tB}\;e^{-\,tA}\;e^{-\,tB},
que, via expansão de Baker–Campbell–Hausdorff, gera uma etapa de ordem t^2 na forma
\exp\bigl(t^2\,[A,B]\bigr)
mais termos de ordem superior.

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