Sistemas lineares são tão fáceis de trabalhar com que os engenheiros muitas vezes constroem modelos lineares de sistemas reais (não lineares) para auxiliar na análise e projeto. Tais modelos muitas vezes são surpreendentemente precisos sobre um intervalo limitado. Por exemplo, considere a função exponencial simples e^{x}. A representação dessa função pela série de Taylor é
e^{x} \approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\cdots
(a) Construa um modelo linear para esta função truncando a expansão da série de Taylor após o termo linear. (b) Calcule a sua função modelo em x= 0,000001,0,0001,0,01,0,1 \mathrm{e} 1,0. (c) Para quais valores de x seu modelo linear pode ser considerado uma aproximação “razoável” para e^{x} ? Explique seu raciocínio.

Passo 1

O enunciado trata da função exponencial \displaystyle e^{x} e pede:
– (a) um modelo linear truncando a série de Taylor após o termo de primeira ordem;
– (b) a avaliação desse modelo nos pontos x=0{,}000001, 0{,}0001, 0{,}01, 0{,}1 e 1{,}0;
– (c) para que valores de x esse modelo linear seja uma aproximação razoável de e^{x}.
O conteúdo envolvido é a expansão em série de Taylor em torno de x=0 e o conceito de linearização de funções.

Passo 2

Para construir a aproximação linear usamos a expansão de Taylor centrada em x=0:
e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \cdots
Truncando após o termo linear, obtemos a linearização (reta tangente em x=0):
\boxed{\text{Modelo linear: }\;f_{\text{lin}}(x)=1+x.}

Passo 3

Agora avaliamos f_{\text{lin}}(x)=1+x nos pontos dados:
\begin{aligned} f_{\text{lin}}(0{,}000001)&=1 + 0{,}000001 = 1{,}000001,\\\ f_{\text{lin}}(0{,}0001)&=1 + 0{,}0001 = 1{,}0001,\\\ f_{\text{lin}}(0{,}01)&=1 + 0{,}01 = 1{,}01,\\\ f_{\text{lin}}(0{,}1)&=1 + 0{,}1 = 1{,}1,\\\ f_{\text{lin}}(1{,}0)&=1 + 1{,}0 = 2{,}0. \end{aligned}

Passo 4

Para saber quando f_{\text{lin}}(x) é “razoável”, comparamos o erro de truncamento
\displaystyle R_{2}(x)=e^{x}-(1+x)\approx \tfrac{x^{2}}{2}
e vemos que ele cresce como x^{2}/2. Se aceitarmos, por exemplo, erro relativo abaixo de 1\%, impomos
\frac{|R_{2}(x)|}{e^{x}}\approx \frac{x^{2}/2}{1+x}<0{,}01.
Numericamente isso dá |x|\lesssim0{,}14. Em particular, para 0\le x\le0{,}1 o erro fica abaixo de 0{,}5\%, ou seja, é bastante pequeno. Já em x=1, o erro relativo é \approx26\%, e a aproximação torna-se ruim.

Resposta

(a) \displaystyle f_{\text{lin}}(x)=1+x.
(b)
\displaystyle f_{\text{lin}}(0{,}000001)=1{,}000001,
\displaystyle f_{\text{lin}}(0{,}0001)=1{,}0001,
\displaystyle f_{\text{lin}}(0{,}01)=1{,}01,
\displaystyle f_{\text{lin}}(0{,}1)=1{,}1,
\displaystyle f_{\text{lin}}(1{,}0)=2{,}0.
(c) O modelo é razoável enquanto |x| for pequeno, tipicamente |x|\lesssim0{,}1 0{,}15, pois aí o termo ignorado \tfrac{x^{2}}{2} gera erro relativo abaixo de 1\%.