Sistemas lineares são tão fáceis de trabalhar com que os engenheiros muitas vezes constroem modelos lineares de sistemas reais (não lineares) para auxiliar na análise e projeto. Tais modelos muitas vezes são surpreendentemente precisos sobre um intervalo limitado. Por exemplo, considere a função exponencial simples
. A representação dessa função pela série de Taylor é
(a) Construa um modelo linear para esta função truncando a expansão da série de Taylor após o termo linear. (b) Calcule a sua função modelo em
. (c) Para quais valores de
seu modelo linear pode ser considerado uma aproximação “razoável” para
? Explique seu raciocínio.
Passo 1
O enunciado trata da função exponencial
e pede:
– (a) um modelo linear truncando a série de Taylor após o termo de primeira ordem;
– (b) a avaliação desse modelo nos pontos ,
,
,
e
;
– (c) para que valores de esse modelo linear seja uma aproximação razoável de
.
O conteúdo envolvido é a expansão em série de Taylor em torno de e o conceito de linearização de funções.
– (a) um modelo linear truncando a série de Taylor após o termo de primeira ordem;
– (b) a avaliação desse modelo nos pontos
– (c) para que valores de
O conteúdo envolvido é a expansão em série de Taylor em torno de
Passo 2
Para construir a aproximação linear usamos a expansão de Taylor centrada em
:
Truncando após o termo linear, obtemos a linearização (reta tangente em
):
Passo 3
Agora avaliamos
nos pontos dados:
Passo 4
Para saber quando
é “razoável”, comparamos o erro de truncamento
e vemos que ele cresce como . Se aceitarmos, por exemplo, erro relativo abaixo de
, impomos
e vemos que ele cresce como
Numericamente isso dá
. Em particular, para
o erro fica abaixo de
, ou seja, é bastante pequeno. Já em
, o erro relativo é
, e a aproximação torna-se ruim.
Resposta
(a)
.
(b)
(c) O modelo é razoável enquanto for pequeno, tipicamente
–
, pois aí o termo ignorado
gera erro relativo abaixo de
.
(b)
(c) O modelo é razoável enquanto