Uma empresa de transporte ferroviário está analisando a confiabilidade dos rolamentos utilizados em seus trens. Sabe-se que esses rolamentos seguem um modelo de falha com taxa constante de
falhas por hora.
- Qual será a função de sobrevivência desses rolamentos após 5 anos de uso contínuo (43.800 horas)?
- A empresa decide testar uma amostra de 5.000 rolamentos durante um período de 10.000 horas para avaliar sua durabilidade. Quantos rolamentos, em média, devem falhar durante esse teste?
Passo 1
Beleza, aqui é o que rolou no enunciado:
- A gente tem rolamentos cujo modelo de falha é exponencial (taxa constante de falha) com λ = 2×10⁻⁶ falhas por hora.
- Precisamos calcular:
- A função de sobrevivência S(t) depois de 5 anos (43 800 horas).
- Numa amostra de n = 5 000 rolamentos testados por t = 10 000 horas, quantos, em média, falham.
Matéria envolvida: distribuição exponencial (processos de falha com taxa constante). Vamos usar:
- S(t) = exp(–λ t)
- Número esperado de falhas = n·[1 – S(t)]
Passo 2
Teoria da distribuição exponencial (sem pular etapas!):
- A variável tempo até falha T segue a densidade f(t) = λ e^(–λ t).
- A função de sobrevivência S(t) é a chance de o rolamento ainda estar vivo em t horas, dada por
3) Se a gente testa um monte de rolamentos (todos independentes e iguais), a fração média que falha até t é [1 – S(t)]. Multiplicando pelo tamanho da amostra n, temos o número médio de falhas.
Passo 3
Calcular a função de sobrevivência após 5 anos (t = 43 800 h):
Vamos ao cálculo:
- Produto λ t = 2×10⁻⁶ × 43 800 = 0,0876
- Então
Ou seja, cerca de 91,61% dos rolamentos ainda estão vivos após 5 anos.
Passo 4
Agora a amostra de n = 5 000 rolamentos em t = 10 000 h:
- Primeiro encontramos a probabilidade média de falha até t:
2) Calcular S(10 000):
- Logo
Passo 5
Número médio de falhas em n = 5 000 rolamentos:
Resposta
- S(43 800) ≈ 0,9161
- Em média, cerca de 99 rolamentos falham no teste de 10 000 horas.