Uma empresa de transporte ferroviário está analisando a confiabilidade dos rolamentos utilizados em seus trens. Sabe-se que esses rolamentos seguem um modelo de falha com taxa constante de 2 times 10^-6 falhas por hora.
  • Qual será a função de sobrevivência desses rolamentos após 5 anos de uso contínuo (43.800 horas)?
  • A empresa decide testar uma amostra de 5.000 rolamentos durante um período de 10.000 horas para avaliar sua durabilidade. Quantos rolamentos, em média, devem falhar durante esse teste?

Passo 1

Beleza, aqui é o que rolou no enunciado:
  • A gente tem rolamentos cujo modelo de falha é exponencial (taxa constante de falha) com λ = 2×10⁻⁶ falhas por hora.
  • Precisamos calcular:
    1. A função de sobrevivência S(t) depois de 5 anos (43 800 horas).
    2. Numa amostra de n = 5 000 rolamentos testados por t = 10 000 horas, quantos, em média, falham.
Matéria envolvida: distribuição exponencial (processos de falha com taxa constante). Vamos usar:
  • S(t) = exp(–λ t)
  • Número esperado de falhas = n·[1 – S(t)]

Passo 2

Teoria da distribuição exponencial (sem pular etapas!):
  1. A variável tempo até falha T segue a densidade f(t) = λ e^(–λ t).
  2. A função de sobrevivência S(t) é a chance de o rolamento ainda estar vivo em t horas, dada por S(t) = P(T > t) = e^-lambda t
    3) Se a gente testa um monte de rolamentos (todos independentes e iguais), a fração média que falha até t é [1 – S(t)]. Multiplicando pelo tamanho da amostra n, temos o número médio de falhas.

Passo 3

Calcular a função de sobrevivência após 5 anos (t = 43 800 h):
S(43,800) = e^-,lambda,t = e^-,2times10^-6times43,800
Vamos ao cálculo:
- Produto λ t = 2×10⁻⁶ × 43 800 = 0,0876
- Então
S(43,800) = e^-0,0876 approx 0,9161
Ou seja, cerca de 91,61% dos rolamentos ainda estão vivos após 5 anos.

Passo 4

Agora a amostra de n = 5 000 rolamentos em t = 10 000 h:
  1. Primeiro encontramos a probabilidade média de falha até t: P(falha em 10,000 h) = 1 - S(10,000)
    2) Calcular S(10 000):
    S(10,000) = e^-,2times10^-6times10,000 = e^-0,02 approx 0,9802
  2. Logo P(falha) = 1 - 0,9802 = 0,0198 ;(approx1,98%)

Passo 5

Número médio de falhas em n = 5 000 rolamentos:
Falhas médias = n times P(falha) = 5,000 times 0,0198 approx 99é

Resposta

  1. S(43 800) ≈ 0,9161
  2. Em média, cerca de 99 rolamentos falham no teste de 10 000 horas.

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