Em uma empresa de tratamento de resíduos, a diretoria convocou o engenheiro de bioprocessos para averiguar a viabilidade de reaproveitamento do gás metano oriundo do tratamento para a geração de energia. Para apresentar o projeto do biodigestor para a diretoria, você decidiu recuperar a água proveniente da queima do metano. Para isso, você deverá fazer o cálculo para averiguar a composição da corrente do produto na fase vapor e quais são as vazões das duas correntes de produtos (dióxido de carbono e água). Você sabe que a empresa produz 15.000 \mathrm{~mol} / \mathrm{h} de metano que inicia a combustão a temperatura e pressão ambientes e as correntes de equilíbrio ao final saem a 85^{\circ} \mathrm{C} com uma corrente com fase líquida de água e com uma corrente com vapor saturado contendo água e dióxido de carbono.

Passo 1

O enunciado pede que você calcule (1) a composição da corrente do produto na fase vapor (ou seja, as frações molares dos componentes no vapor) e (2) as vazões molares das duas correntes de produto (dióxido de carbono e água — distinguindo água em vapor e água líquida), sabendo as condições finais. Informações fornecidas pelo enunciado:
\text{Produção de metano: } \; \dot{n}_{\mathrm{CH_4}} = 15\,000\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}çã
\text{Reação de combustão termina com produtos a }85^\circ\mathrm{C}çãã
\text{Existem duas correntes de saída: uma fase líquida de água e uma fase vapor (vapor saturado) contendo água e CO}_2ííáá
\text{Pressão ambiente não especificada explicitamente; vamos assumir }P_{\text{total}} = 1\\ \text{atm}ãã
Nada mais será assumido além do acima (se você trabalha em outra pressão, o procedimento é o mesmo, só muda o valor numérico da pressão total).

Passo 2

Primeiro vamos usar a estequiometria da combustão completa do metano para obter quantidades totais molares de produtos. A reação balanceada é:
\mathrm{CH_4} + 2\,\mathrm{O_2} \longrightarrow \mathrm{CO_2} + 2\,\mathrm{H_2O}
Explicando devagar: os coeficientes indicam que para cada 1 mol de \mathrm{CH_4} queimado formam-se 1 mol de \mathrm{CO_2} e 2 mols de \mathrm{H_2O}. Portanto, a partir de \dot{n}_{\mathrm{CH_4}} = 15\,000\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h} obtemos:
\dot{n}_{\mathrm{CO_2,\,total}} = 1 \times \dot{n}_{\mathrm{CH_4}} = 15\,000\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}
\dot{n}_{\mathrm{H_2O,\,total}} = 2 \times \dot{n}_{\mathrm{CH_4}} = 30\,000\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}
Esses são os totais produzidos pela reação; depois eles se distribuem entre fases (água líquida e vapor).

Passo 3

Agora precisamos saber qual fração do \mathrm{H_2O} fica como vapor a 85^\circ\mathrm{C}. Como existe fase líquida de água junto com vapor saturado, a pressão parcial do vapor d’água na fase vapor é igual à pressão de vapor de saturação da água em 85^\circ\mathrm{C}. Para obter a pressão de vapor usamos a equação de Antoine (uma forma prática de estimar pressão de vapor), que dá a pressão em mmHg pela temperatura em ^\circ\mathrm{C}:
\log_{10} P_{\text{mmHg}} = A - \frac{B}{C + T}
Valores de Antoine (válidos na faixa perto de 1 a 100^\circ\mathrm{C}): A=8{,}07131,\; B=1730{,}63,\; C=233{,}426. Aplicando para T=85^\circ\mathrm{C}:
\log_{10} P_{\text{mmHg}} = 8{,}07131 - \frac{1730{,}63}{233{,}426 + 85} = 8{,}07131 - \frac{1730{,}63}{318{,}426} = 8{,}07131 - 5{,}43490 = 2{,}63641
P_{\text{mmHg}} = 10^{2{,}63641} \approx 433{,}5\\ \text{mmHg}
Convertendo para atm (sabendo que 760\\ \text{mmHg}=1\\ \text{atm}):
P_{\mathrm{H_2O,\,sat}} = \frac{433{,}5}{760} \approx 0{,}5707\\ \text{atm}
Portanto a pressão parcial do vapor d’água na mistura saturada a 85^\circ\mathrm{C} é
P_{\mathrm{H_2O}} = 0{,}5707\\ \text{atm}

Passo 4

Usamos a lei de Dalton (leis dos gases ideais em misturas): a fração molar y_i de cada componente gasoso na fase vapor é igual à sua pressão parcial dividida pela pressão total:
y_i = \frac{P_i}{P_{\text{total}}}
Assumindo P_{\text{total}}=1{,}00\\ \text{atm}, temos:
y_{\mathrm{H_2O}} = \frac{P_{\mathrm{H_2O}}}{P_{\text{total}}} = \frac{0{,}5707}{1{,}00} = 0{,}5707
y_{\mathrm{CO_2}} = 1 - y_{\mathrm{H_2O}} = 1 - 0{,}5707 = 0{,}4293
Interpretação: no vapor saturado a 85^\circ\mathrm{C} e 1\\ \text{atm}, cerca de 57{,}07\% em mols é \mathrm{H_2O} e 42{,}93\% é \mathrm{CO_2}.

Passo 5

Agora traduzimos essas frações molares em vazões molares. Todo o \mathrm{CO_2} formado fica na fase gasosa (não condensa a 85^\circ\mathrm{C} e 1\\ \text{atm}), então a vazão molar de \mathrm{CO_2} na corrente vapor é:
\dot{n}_{\mathrm{CO_2,\,vapor}} = 15\,000\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}
Se chamarmos a vazão molar total do vapor de \dot{n}_{\text{vapor}}, então a fração molar de \mathrm{CO_2} no vapor satisfaz:
y_{\mathrm{CO_2}} = \frac{\dot{n}_{\mathrm{CO_2,\,vapor}}}{\dot{n}_{\text{vapor}}}
Desse modo:
\dot{n}_{\text{vapor}} = \frac{\dot{n}_{\mathrm{CO_2,\,vapor}}}{y_{\mathrm{CO_2}}} = \frac{15\,000}{0{,}4293} \approx 34\,923{,}7\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}
A quantidade de água presente no vapor é então:
\dot{n}_{\mathrm{H_2O,\,vapor}} = y_{\mathrm{H_2O}} \cdot \dot{n}_{\text{vapor}} = 0{,}5707 \times 34\,923{,}7 \approx 19\,923{,}9\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}
Por conservação de mols de água, a vazão de água líquida (aquele que condensou/separou) é:
\dot{n}_{\mathrm{H_2O,\,líq}} = \dot{n}_{\mathrm{H_2O,\,total}} - \dot{n}_{\mathrm{H_2O,\,vapor}} = 30\,000 - 19\,923{,}9 \approx 10\,076{,}1\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}í
Arredondando para números práticos (por exemplo, para unidades inteiras de mol/h):
\dot{n}_{\text{vapor}} \approx 34\,924\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}
\dot{n}_{\mathrm{H_2O,\,vapor}} \approx 19\,924\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}
\dot{n}_{\mathrm{H_2O,\,líq}} \approx 10\,076\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}í

Passo 6

Pequena checagem (balanço total de mols e consistência): o vapor contém \dot{n}_{\mathrm{CO_2,\,vapor}}=15{,}000 mol/h e \dot{n}_{\mathrm{H_2O,\,vapor}}\approx19{,}924 mol/h, totalizando \approx34{,}924 mol/h, que é \dot{n}_{\text{vapor}} calculado. A soma de \dot{n}_{\mathrm{H_2O,\,vapor}} e \dot{n}_{\mathrm{H_2O,\,líq}}í devolve \approx30{,}000 mol/h, que é a água total produzida pela reação. Tudo consistente.

Resposta

Composição do vapor (frações molares):
y_{\mathrm{H_2O}} = 0{,}5707,\quad y_{\mathrm{CO_2}} = 0{,}4293
Vazões molares:
\dot{n}_{\mathrm{CO_2,\,vapor}} = 15\,000\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}
\dot{n}_{\mathrm{H_2O,\,vapor}} \approx 19\,924\\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}
\dot{n}_{\mathrm{H_2O,\,líq}} \approx 10\,076\ \mathrm{mol}/\mathrm{h}í

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