Em um laboratório de análise instrumental necessita de um controle de umidade com um ponto de orvalho igual a 8^{\circ} \mathrm{C}. Para dimensionar o equipamento para retirar essa umidade que entra na sala via ar úmido com um ponto de orvalho igual a 25^{\circ} \mathrm{C} e uma vazão de 1500 \mathrm{kg} / \mathrm{h}, necessita-se encontrar a vazão líquida retirada da sala. Você foi o engenheiro responsável para o cálculo dessa vazão. Faça os cálculos necessários, explique passo a passo e justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a vazão líquida (massa de água condensada por hora) retirada da sala:
  • ponto de orvalho do ar que entra: \,25^\circ\mathrm{C}\,;
  • ponto de orvalho desejado (após o equipamento): \,8^\circ\mathrm{C}\,;
  • vazão de ar úmido que entra: \,1500\\ \mathrm{kg/h}\, (massa de ar úmido);
  • objetivo: encontrar a massa de água líquida removida por hora (ou seja, quanto vapor é condensado ao baixar o ponto de orvalho de 25^\circ\mathrm{C} para 8^\circ\mathrm{C}).
Observação usada para resolver: assumiremos pressão atmosférica padrão P=101{,}325\\ \mathrm{kPa} (caso não informado, é a suposição usual em problemas de ar úmido).

Passo 2

Conceito chave (explicado devagar): o “ponto de orvalho” é a temperatura na qual o vapor de água presente no ar fica saturado; portanto, o vapor parcial p_v no ar corresponde à pressão de saturação àquela temperatura. Assim:
  • para o ar com ponto de orvalho \,25^\circ\mathrm{C}\,, o vapor parcial é igual à pressão de saturação de água à \,25^\circ\mathrm{C}\,;
  • para o ar com ponto de orvalho \,8^\circ\mathrm{C}\,, o vapor parcial é igual à pressão de saturação de água à \,8^\circ\mathrm{C}\,.
Então precisamos:
  1. calcular as pressões de vapor de saturação \,e_s(25^\circ\mathrm{C}) e \,e_s(8^\circ\mathrm{C});
  2. converter essas pressões em razão de mistura (ou fração de vapor) para comparar massa de vapor antes e depois;
  3. usar a vazão de ar úmido para obter a massa de água condensada por hora.

Passo 3

Fórmula prática que vamos usar para a pressão de saturação da água (fórmula de Tetens, muito usada em engenharia de ar condicionado):
e_s(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)
onde T está em ^\circ\mathrm{C} e e_s vem em \mathrm{kPa}. Vou usar essa fórmula e mostrar os cálculos passo a passo.

Passo 4

Calcular e_s em 25^\circ\mathrm{C}.
\text{expoente}=\frac{17{,}27\cdot 25}{25+237{,}3}=\frac{431{,}75}{262{,}3}=1{,}647128\ldots
\exp(1{,}647128)=5{,}1899\ldots
e_s(25^\circ\mathrm{C})=0{,}61078\cdot 5{,}1899=3{,}1690\\ \mathrm{kPa}

Passo 5

Calcular e_s em 8^\circ\mathrm{C}.
\text{expoente}=\frac{17{,}27\cdot 8}{8+237{,}3}=\frac{138{,}16}{245{,}3}=0{,}563159\ldots
\exp(0{,}563159)=1{,}7560\ldots
e_s(8^\circ\mathrm{C})=0{,}61078\cdot 1{,}7560=1{,}0720\\ \mathrm{kPa}

Passo 6

Agora vamos passar de pressão de vapor para a razão de mistura (ou razão de massa de vapor por massa de ar seco). A fórmula é:
w=0{,}622\cdot\frac{p_v}{P-p_v}
onde
  • w é a razão de mistura (kg de vapor de água por kg de ar seco),
  • p_v é a pressão parcial do vapor (em kPa),
  • P é a pressão total (em kPa),
  • 0{,}622 é a razão das massas molares da água e do ar seco ( M_w/M_a), usada para converter pressões em razões de massa.
Explico por que: a partir da lei dos gases e definindo razão de mistura, chega-se a essa relação padronizada em psicrometria.

Passo 7

Calcular a razão de mistura do ar na entrada (ponto de orvalho 25^\circ\mathrm{C}). Usamos p_v=e_s(25^\circ\mathrm{C})=3{,}1690\\ \mathrm{kPa} e P=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
w_{\text{in}}=0{,}622\cdot\frac{3{,}1690}{101{,}325-3{,}1690} =0{,}622\cdot\frac{3{,}1690}{98{,}156}
Faço o numerador:
0{,}622\cdot 3{,}1690=1{,}9718\ldots
Dividindo:
w_{\text{in}}=\frac{1{,}9718}{98{,}156}=0{,}020086\\ \text{kg vapor/kg ar seco}

Passo 8

Calcular a razão de mistura do ar depois da secagem (ponto de orvalho 8^\circ\mathrm{C}), com p_v=e_s(8^\circ\mathrm{C})=1{,}0720\\ \mathrm{kPa}.
w_{\text{out}}=0{,}622\cdot\frac{1{,}0720}{101{,}325-1{,}0720} =0{,}622\cdot\frac{1{,}0720}{100{,}253}
Numerador:
0{,}622\cdot 1{,}0720=0{,}6670\ldots
Dividindo:
w_{\text{out}}=\frac{0{,}6670}{100{,}253}=0{,}006654\\ \text{kg vapor/kg ar seco}

Passo 9

Explicação importante sobre massas: a vazão dada \,1500\\ \mathrm{kg/h}\, é massa de ar úmido (ar seco + vapor). As razões de mistura w são por kg de ar seco. Para usar w corretamente, encontramos a vazão de ar seco \dot{m}_{\text{ar seco}} pela relação:
\dot{m}_{\text{ar úmido}}=\dot{m}_{\text{ar seco}}\cdot(1+w_{\text{in}})ú
portanto
\dot{m}_{\text{ar seco}}=\frac{\dot{m}_{\text{ar úmido}}}{1+w_{\text{in}}} =\frac{1500}{1+0{,}020086}ú
Calculando:
\dot{m}_{\text{ar seco}}=\frac{1500}{1{,}020086}=1471{,}042\\ \mathrm{kg\\ de\\ ar\\ seco/h}
Racional: o ar úmido contém um pouco de vapor; para usar w (kg vapor por kg ar seco) precisamos saber quantos kg de ar seco estão passando por hora.

Passo 10

Agora calculamos a massa de vapor antes e depois (por hora), e a diferença será a massa condensada por hora:
  • massa de vapor entrando por hora:
\dot{m}_{v,\text{in}}=\dot{m}_{\text{ar seco}}\cdot w_{\text{in}} =1471{,}042\cdot 0{,}020086=29{,}507\\ \mathrm{kg/h}
  • massa de vapor saindo por hora:
\dot{m}_{v,\text{out}}=\dot{m}_{\text{ar seco}}\cdot w_{\text{out}} =1471{,}042\cdot 0{,}006654=9{,}737\\ \mathrm{kg/h}
  • massa condensada por hora (diferença):
\dot{m}_{\text{cond}}=\dot{m}_{v,\text{in}}-\dot{m}_{v,\text{out}} =29{,}507-9{,}737=19{,}770\\ \mathrm{kg/h}
Também pode ser obtido diretamente por \dot{m}_{\text{cond}}=\dot{m}_{\text{ar seco}}\cdot(w_{\text{in}}-w_{\text{out}}), que dá o mesmo resultado.

Passo 11

Interpretação e arredondamento: o equipamento deve remover aproximadamente \,19{,}77\\ \mathrm{kg/h} de água líquida. Em engenharia prática eu recomendo considerar uma margem de segurança (por exemplo projetar para \sim 20\\ \mathrm{kg/h}) para cobrir variações operacionais.

Resposta

19{,}77\\ \mathrm{kg/h}

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