Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável
\frac{d x}{d t}=x+y
\frac{d y}{d t}=-2 x-y

Passo 1

O enunciado pede claramente duas coisas:
  • Encontrar os autovalores ( \lambda) e autovetores ( v) do sistema
\frac{d x}{d t}=x+y, \qquad \frac{d y}{d t}=-2 x-y.
  • Determinar se o sistema é estável.
Informações dadas (escrevendo em forma matricial):
\begin{pmatrix}\dot x\\[4pt]\dot y\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que é preciso fazer e ferramentas que usarei (passo-a-passo).
  • Para achar autovalores \lambda de uma matriz A resolvemos a equação característica
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade. Para matrizes 2\times2, se A=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} então
\det(A-\lambda I)=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc.
  • Depois, para cada autovalor \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0 para encontrar um autovetor v\neq0.
  • Para estudar estabilidade de um sistema linear \dot u = A u:
    • Se todos os autovalores têm parte real negativa então o sistema é assintoticamente estável.
    • Se algum autovalor tem parte real positiva então é instável.
    • Se todos têm parte real não-positiva, e aqueles com parte real zero são semiplementes (caso especial), pode ser apenas estável (mas não assintoticamente). Em particular, se surgem autovalores puramente imaginários conjugados distintos, normalmente o sistema apresenta oscilações periódicas (centro) — é estável no sentido de Lyapunov, mas não assintoticamente estável.
      Vou aplicar essas etapas ao A dado.

Passo 3

Calcular o polinômio característico de A.
Usando A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix},
\det(A-\lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]-2 & -1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(-1-\lambda)-1\cdot(-2).
Agora desenvolver:
(1-\lambda)(-1-\lambda) = -1 -\lambda +\lambda +\lambda^{2} = -1+\lambda^{2},
portanto
\det(A-\lambda I)=(-1+\lambda^{2})+2=\lambda^{2}+1.
A equação característica é
\lambda^{2}+1=0.
Resolve-se para \lambda:
\lambda^{2}=-1 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm i.
Logo os autovalores são \lambda_{1}=i e \lambda_{2}=-i (conjugados imaginários puros).]

Passo 4

Achar autovetor associado a \lambda_{1}=i.
Resolvemos (A-iI)v=0. Escrevendo
A-iI=\begin{pmatrix}1-i & 1\\[4pt]-2 & -1-i\end{pmatrix},
e o sistema linear (A-iI)\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt]v_{2}\end{pmatrix}=0 dá as equações
(1-i)v_{1}+1\cdot v_{2}=0,
-2 v_{1}+(-1-i)v_{2}=0.
Basta usar a primeira equação (a segunda é múltiplo dela, como deve ocorrer). Da primeira temos
v_{2}=-(1-i)v_{1}.
Escolhendo v_{1}=1 por conveniência, obtemos um autovetor complexo
v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1+i\end{pmatrix}.
(qualquer múltiplo complexo não nulo de v^{(1)} também é autovetor correspondente a \lambda=i.)]

Passo 5

Achar autovetor associado a \lambda_{2}=-i.
Analogamente,
A-(-i)I=A+iI=\begin{pmatrix}1+i & 1\\[4pt]-2 & -1+i\end{pmatrix},
e pela primeira linha
(1+i)w_{1}+w_{2}=0\quad\Rightarrow\quad w_{2}=-(1+i)w_{1}.
Escolhendo w_{1}=1 dá o autovetor complexo conjugado
v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1-i\end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretar estabilidade e escrever a solução real geral (didática).
  • Os autovalores são \pm i, que têm parte real igual a 0. Isso indica que não existe decaimento exponencial (não há parte real negativa) nem crescimento exponencial (não há parte real positiva). Em sistemas lineares reais, autovalores puramente imaginários conjugados normalmente geram oscilações periódicas (seno e cosseno). Portanto o sistema é estável no sentido de Lyapunov (soluções permanecem limitadas e próximas do equilíbrio para perturbações pequenas), mas não é assintoticamente estável (as soluções não tendem a zero quando t\to\infty, elas oscilam).
  • Para mostrar concretamente as oscilações e que a solução é periódica, usemos a parte real e imaginária do autovetor de \lambda=i. Tome
v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1+i\end{pmatrix}=a+i b,
onde a=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} e b=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A solução complexa associada é e^{i t}v^{(1)}. Expandindo
e^{i t}v^{(1)}=(\cos t + i\sin t)(a+i b) =(\cos t\,a-\sin t\,b)+i(\sin t\,a+\cos t\,b).
Como o sistema é real, as partes real e imaginária são soluções reais independentes. Assim a solução real geral é combinação linear dessas duas soluções:
\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\end{pmatrix} = \alpha\big(\cos t\,a-\sin t\,b\big) + \beta\big(\sin t\,a+\cos t\,b\big),
com \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
Substituindo a e b obtemos explicitamente
\cos t\,a-\sin t\,b = \begin{pmatrix}\cos t\\[4pt]-\cos t-\sin t\end{pmatrix}, \qquad \sin t\,a+\cos t\,b = \begin{pmatrix}\sin t\\[4pt]-\sin t+\cos t\end{pmatrix}.
Logo a solução geral real é
\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix}\cos t\\[4pt]-\cos t-\sin t\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}\sin t\\[4pt]-\sin t+\cos t\end{pmatrix}.
Isto mostra que x(t) e y(t) são combinações de seno e cosseno com período 2\pi: trajetórias fechadas (órbitas periódicas) em torno da origem. Portanto a origem é um centro — estável (não cresce), mas não assintoticamente estável (não converge para zero).]

Resposta

Autovalores: \lambda_{1}=i,\\ \lambda_{2}=-i
Autovetores: para \lambda_{1}=i, v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1+i\end{pmatrix}; para \lambda_{2}=-i, v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1-i\end{pmatrix}
Estabilidade: o sistema é estável no sentido de Lyapunov (centro, soluções periódicas), mas não é assintoticamente estável.]