Encontre resposta ao degrau no domínio do tempo para as funções abaixo. Desenhe os gráficos.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar a resposta ao degrau (resposta de entrada degrau unitário) no domínio do tempo para a função de transferência dada.
- Desenhar (ou descrever) o gráfico dessa resposta.
Informação fornecida:
Vou transformar essa
em resposta ao degrau via
e calcular a transformada inversa de Laplace para obter
para
.
Passo 2
Estratégia e lembretes rápidos (explicados de forma bem didática):
- A resposta ao degrau unitário é
com
- Para obter a transformada inversa vamos decompor
em frações parciais; quando aparecer um termo quadrático com polos complexos conjugados, utilizamos a forma deslocada e as correspondentes transformadas conhecidas: -
. -
.
-
- Também é útil identificar parâmetros do segundo-ordem padrão
: a partir deles calcula-se amortecimento , frequência natural e frequência amortecida . Esses números ajudam a interpretar e desenhar a resposta.
Passo 3
Simplificar
algebricamente para facilitar os cálculos.
Começo fatorando o coeficiente do termo quadrático:
pois
e
.
Assim
porque
.
Portanto a função para o degrau é
Passo 4
Fazer decomposição em frações parciais. Procuro constantes
tais que
Multiplicando os dois lados pelo denominador comum:
Agrupando coeficientes do polinômio em
:
Igualando coeficientes de potências de
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente constante:
Logo
,
,
(porque
).
Portanto
Passo 5
Preparar o denominador quadrático para aplicar transformadas conhecidas. Completo o quadrado:
Como
, temos
Identifico parâmetros do segundo-ordem padrão:
Então a frequência amortecida é
Passo 6
Reescrever o numerador do termo quadrático em função de
para usar as transformadas tabeladas:
pois
e resta
.
Portanto
Agora aplico as transformadas inversas:
-
. -
.
Como o segundo termo tem constante
em numerador, escrevo
Juntando tudo e lembrando do termo
(resposta de estado permanente ao degrau),
obtém-se, para ,
obtém-se, para
pois
permite agrupar o fator
.
Substituindo
obtém-se a forma numérica:
Passo 7
Interpretação física e valores úteis para desenhar o gráfico (máxima ajuda para fazer o esboço à mão):
- Valor final (estado estacionário):
. - Valor inicial:
(verificável substituindo na expressão). - Parâmetros do segundo-ordem:
- Sobre-escapamento percentual aproximado:
Logo o primeiro pico atinge aproximadamente . - Tempo do primeiro pico:
- Período das oscilações (período da senoide amortecida):
- Tempo de acomodação aproximado (regra prática 2%):
Como desenhar o gráfico (passos práticos para rascunho):
- Marcador inicial em
com . - Curva sobe rapidamente e alcança um pico em
com valor . - Oscilações subsequentes com periodos
e amplitude decaindo com envoltória . - A curva se aproxima de
quando cresce (assintota horizontal em ), chegando dentro de por volta de .