Encontre resposta ao degrau no domínio do tempo para as funções abaixo. Desenhe os gráficos.
G(S)=\frac{2318,4}{2,3 s^{2}+16,56 s+331,2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar a resposta ao degrau (resposta de entrada degrau unitário) no domínio do tempo para a função de transferência dada.
  • Desenhar (ou descrever) o gráfico dessa resposta.
Informação fornecida:
G(s)=\frac{2318,4}{2,3\,s^{2}+16,56\,s+331,2}.
Vou transformar essa G(s) em resposta ao degrau via Y(s)=G(s)\cdot\frac{1}{s} e calcular a transformada inversa de Laplace para obter y(t) para t\ge 0.

Passo 2

Estratégia e lembretes rápidos (explicados de forma bem didática):
  • A resposta ao degrau unitário é y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} com
Y(s)=\frac{G(s)}{s}.
  • Para obter a transformada inversa vamos decompor Y(s) em frações parciais; quando aparecer um termo quadrático com polos complexos conjugados, utilizamos a forma deslocada (s+a)^2+\omega_d^2 e as correspondentes transformadas conhecidas:
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega_d^2}\right\}=e^{-a t}\cos(\omega_d t).
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{\omega_d}{(s+a)^2+\omega_d^2}\right\}=e^{-a t}\sin(\omega_d t).
  • Também é útil identificar parâmetros do segundo-ordem padrão s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2: a partir deles calcula-se amortecimento \zeta, frequência natural \omega_n e frequência amortecida \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}. Esses números ajudam a interpretar e desenhar a resposta.

Passo 3

Simplificar G(s) algebricamente para facilitar os cálculos.
Começo fatorando o coeficiente do termo quadrático:
2,3\,s^{2}+16,56\,s+331,2 = 2,3\bigl(s^{2}+7{,}2\,s+144\bigr),
pois 16{,}56/2{,}3=7{,}2 e 331{,}2/2{,}3=144.
Assim
G(s)=\frac{2318{,}4}{2{,}3\,(s^{2}+7{,}2s+144)}=\frac{1008}{s^{2}+7{,}2s+144},
porque 2318{,}4/2{,}3=1008.
Portanto a função para o degrau é
Y(s)=\frac{G(s)}{s}=\frac{1008}{s\,(s^{2}+7{,}2s+144)}.

Passo 4

Fazer decomposição em frações parciais. Procuro constantes A,B,C tais que
\frac{1008}{s\,(s^{2}+7{,}2s+144)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+7{,}2s+144}.
Multiplicando os dois lados pelo denominador comum:
1008 = A\bigl(s^{2}+7{,}2s+144\bigr) + (Bs+C)s.
Agrupando coeficientes do polinômio em s:
1008 = (A+B)s^{2} + (7{,}2A + C)s + 144A.
Igualando coeficientes de potências de s:
  • Coeficiente de s^{2}: A+B=0 \Rightarrow B=-A.
  • Coeficiente de s^{1}: 7{,}2A + C =0 \Rightarrow C=-7{,}2A.
  • Coeficiente constante: 144A = 1008 \Rightarrow A=\dfrac{1008}{144}=7.
Logo A=7, B=-7, C=-50{,}4 (porque C=-7{,}2\cdot7=-50{,}4).
Portanto
Y(s)=\frac{7}{s}+\frac{-7s-50{,}4}{s^{2}+7{,}2s+144}.

Passo 5

Preparar o denominador quadrático para aplicar transformadas conhecidas. Completo o quadrado:
s^{2}+7{,}2s+144=(s+3{,}6)^{2} + \bigl(144-3{,}6^{2}\bigr).
Como 3{,}6^{2}=12{,}96, temos
s^{2}+7{,}2s+144=(s+3{,}6)^{2}+131{,}04.
Identifico parâmetros do segundo-ordem padrão:
\omega_n=\sqrt{144}=12,\qquad 2\zeta\omega_n=7{,}2\Rightarrow \zeta=\frac{7{,}2}{2\cdot12}=0{,}3.
Então a frequência amortecida é
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}=12\sqrt{1-0{,}09}=12\sqrt{0{,}91}=\sqrt{131{,}04}\approx11{,}4473.

Passo 6

Reescrever o numerador do termo quadrático em função de (s+3{,}6) para usar as transformadas tabeladas:
-7s-50{,}4 = -7(s+3{,}6) - 25{,}2,
pois -7(s+3{,}6) = -7s -25{,}2 e resta -25{,}2.
Portanto
\frac{-7s-50{,}4}{s^{2}+7{,}2s+144} = -7\cdot\frac{s+3{,}6}{(s+3{,}6)^{2}+\omega_d^{2}} \;-\; \frac{25{,}2}{(s+3{,}6)^{2}+\omega_d^{2}}.
Agora aplico as transformadas inversas:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s+3{,}6}{(s+3{,}6)^{2}+\omega_d^{2}}\right\}=e^{-3{,}6t}\cos(\omega_d t).
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{\omega_d}{(s+3{,}6)^{2}+\omega_d^{2}}\right\}=e^{-3{,}6t}\sin(\omega_d t).
Como o segundo termo tem constante 25{,}2 em numerador, escrevo
\frac{25{,}2}{(s+3{,}6)^{2}+\omega_d^{2}}=\frac{25{,}2}{\omega_d}\cdot\frac{\omega_d}{(s+3{,}6)^{2}+\omega_d^{2}}.
Juntando tudo e lembrando do termo 7/s \mapsto 7 (resposta de estado permanente ao degrau),
obtém-se, para t\ge 0,
\begin{aligned} y(t) &= 7 \;+\; \Bigl[-7\,e^{-3{,}6t}\cos(\omega_d t)\Bigr] \;+\; \Bigl[-\frac{25{,}2}{\omega_d}\,e^{-3{,}6t}\sin(\omega_d t)\Bigr] \\\ &= 7\left[1 - e^{-3{,}6t}\left(\cos(\omega_d t) + \frac{3{,}6}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\right)\right], \end{aligned}
pois \dfrac{25{,}2}{\omega_d}=\dfrac{7\cdot 3{,}6}{\omega_d} permite agrupar o fator 7.
Substituindo \omega_d=\sqrt{131{,}04}\approx11{,}4473 obtém-se a forma numérica:
y(t)=7 -7e^{-3{,}6t}\cos(11{,}4473\,t) - 2{,}2025\,e^{-3{,}6t}\sin(11{,}4473\,t).

Passo 7

Interpretação física e valores úteis para desenhar o gráfico (máxima ajuda para fazer o esboço à mão):
  • Valor final (estado estacionário): \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=7.
  • Valor inicial: y(0)=0 (verificável substituindo t=0 na expressão).
  • Parâmetros do segundo-ordem: \omega_n=12,\qquad \zeta=0{,}3,\qquad \omega_d\approx11{,}4473,\qquad a=\zeta\omega_n=3{,}6.
  • Sobre-escapamento percentual aproximado: M_p = e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^{2}}}\times 100\%\approx e^{-0{,}3\pi/\sqrt{0{,}91}}\times100\%\approx37{,}2\%.Logo o primeiro pico atinge aproximadamente 7(1+0{,}372)\approx9{,}6.
  • Tempo do primeiro pico: t_p=\frac{\pi}{\omega_d}\approx\frac{\pi}{11{,}4473}\approx0{,}275\\ \text{s}.
  • Período das oscilações (período da senoide amortecida): T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}\approx\frac{2\pi}{11{,}4473}\approx0{,}550\\ \text{s}.
  • Tempo de acomodação aproximado (regra prática 2%): T_s\approx \dfrac{4}{\zeta\omega_n}=\dfrac{4}{3{,}6}\approx1{,}11\\ \text{s}.
Como desenhar o gráfico (passos práticos para rascunho):
  1. Marcador inicial em t=0 com y(0)=0.
  2. Curva sobe rapidamente e alcança um pico em t\approx0{,}275\\ \text{s} com valor \approx9{,}6.
  3. Oscilações subsequentes com periodos \approx0{,}55\\ \text{s} e amplitude decaindo com envoltória 7\cdot e^{-3{,}6t}.
  4. A curva se aproxima de y=7 quando t cresce (assintota horizontal em y=7), chegando dentro de \pm 2\% por volta de 1{,}1\\ \text{s}.

Resposta

y(t)=7\left[1 - e^{-3{,}6t}\left(\cos\!\bigl(\sqrt{131{,}04}\,t\bigr) + \frac{3{,}6}{\sqrt{131{,}04}}\sin\!\bigl(\sqrt{131{,}04}\,t\bigr)\right)\right],\qquad t\ge 0.