Encontre a Transformada de Laplace das funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: encontrar a Transformada de Laplace da função
. - Informação dada:
é a função de degrau unitário (Heaviside) deslocada, isto é, vale para e vale para . (No ponto o valor pontual não altera a transformada.)
Passo 2
Definição da Transformada de Laplace e condição de existência.
- A Transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é uma variável complexa. Para a integral convergir normalmente precisamos de
quando
não cresce exponencialmente. Vou usar essa definição diretamente.
Passo 3
Usando a definição: escrever a integral que corresponde a
e simplificar os limites.
- Pela definição,
- Como
para e para , a integral com início em reduz para a integral a partir de :
Passo 4
Calcular a integral impropria passo a passo.
- Calcule a primitiva:
- Avaliando o integral impróprio,
- Para
tem-se quando . Logo sobra
Passo 5
Conclusão usando também o teorema do deslocamento (modo rápido que é útil na prova).
- Existe um teorema muito prático: se
é o degrau deslocado, então
- Tomando
e (pois é exatamente ), obtemos imediatamente
pois
para
. Isso confirma o resultado da integração direta.