Encontre a Transformada de Laplace das funções:
u(t-7)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: encontrar a Transformada de Laplace da função u(t-7).
  • Informação dada: u(t-7) é a função de degrau unitário (Heaviside) deslocada, isto é, vale 0 para t<7 e vale 1 para t>7. (No ponto t=7 o valor pontual não altera a transformada.)

Passo 2

Definição da Transformada de Laplace e condição de existência.
  • A Transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa. Para a integral convergir normalmente precisamos de \Re(s)>0 quando f(t) não cresce exponencialmente. Vou usar essa definição diretamente.

Passo 3

Usando a definição: escrever a integral que corresponde a \mathcal{L}\{u(t-7)\} e simplificar os limites.
  • Pela definição,
\mathcal{L}\{u(t-7)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,u(t-7)\,dt.
  • Como u(t-7)=0 para t<7 e u(t-7)=1 para t>7, a integral com início em 0 reduz para a integral a partir de t=7:
\mathcal{L}\{u(t-7)\}(s)=\int_{7}^{\infty} e^{-s t}\,dt.

Passo 4

Calcular a integral impropria passo a passo.
  • Calcule a primitiva:
\int e^{-s t}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-s t} \quad(\text{o que vale para } s\neq 0).
  • Avaliando o integral impróprio,
\int_{7}^{\infty} e^{-s t}\,dt = \lim_{R\to\infty}\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{t=7}^{t=R} = \lim_{R\to\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-s R} + \frac{1}{s}e^{-7s}\right).
  • Para \Re(s)>0 tem-se e^{-sR}\to 0 quando R\to\infty. Logo sobra
\int_{7}^{\infty} e^{-s t}\,dt = \frac{1}{s}e^{-7s}.

Passo 5

Conclusão usando também o teorema do deslocamento (modo rápido que é útil na prova).
  • Existe um teorema muito prático: se u(t-a) é o degrau deslocado, então
\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}(s)=e^{-a s}\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s).
  • Tomando f(t)\equiv 1 e a=7 (pois u(t-7) é exatamente u(t-7)\cdot 1), obtemos imediatamente
\mathcal{L}\{u(t-7)\}(s)=e^{-7s}\,\mathcal{L}\{1\}(s)=e^{-7s}\cdot\frac{1}{s},
pois \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s} para \Re(s)>0. Isso confirma o resultado da integração direta.

Resposta

\mathcal{L}\{u(t-7)\}(s)=\frac{e^{-7s}}{s},\qquad \Re(s)>0