A energia de Gibbs da espécie 1 numa mistura líquida binária (espécies 1 e 2 ) é dada por:
\bar{G}_{1}=-450+3500 \cdot \ln x_{1}+705 \cdot x_{2}^{2} \quad[\mathrm{~J} / \mathrm{mol}]
A energia de Gibbs da espécie 2 pura é de -600 \mathrm{~J} / \mathrm{mol}. Determine as expressões para as seguintes quantidades: \bar{G}_{2} e g.

Passo 1

O enunciado nos dá a energia de Gibbs parcial da espécie 1 numa mistura líquida binária (1 e 2):
\bar{G}_{1} = -450 + 3500\,\ln x_{1} + 705\,x_{2}^{2} \quad[\mathrm{J/mol}],
e informa que a energia de Gibbs da espécie 2 pura é -600,J/mol. Precisamos encontrar a energia de Gibbs parcial da espécie 2, \bar G_{2}, e a energia de Gibbs molar da mistura, g. Para isso vamos usar:
– termo ideal de mistura: \;RT\ln x_{i} com RT=3500,J/mol;
– termo de excesso na forma de modelo de Margules de ordem 2, que gera um excesso total por mol:
G^{E}/n = A\,x_{1}x_{2},\quad A = 705\;\text{J/mol}.

Passo 2

Para achar \bar G_{2} escrevemos \bar G_{2} = G_{2}^{0} + RT\ln x_{2} + \bar G_{2}^{E},
onde G_{2}^{0} = -600,J/mol e \bar G_{2}^{E} = \partial\bigl(n\,G^{E}\bigr)/\partial n_{2}. Como
n\,G^{E} = n\,A\,x_{1}x_{2} \quad\Longrightarrow\quad \bar G_{2}^{E} = A\,x_{1}^{2} = 705\,x_{1}^{2},
segue que
\bar G_{2} = -600 + 3500\,\ln x_{2} + 705\,x_{1}^{2} \quad[\mathrm{J/mol}].

Passo 3

A energia de Gibbs molar da mistura é
g = x_{1}\,\bar G_{1} + x_{2}\,\bar G_{2}.
Substituindo \bar G_{1} e \bar G_{2}:
g = x_{1}\bigl(-450 + 3500\,\ln x_{1} + 705\,x_{2}^{2}\bigr) + x_{2}\bigl(-600 + 3500\,\ln x_{2} + 705\,x_{1}^{2}\bigr).
Agrupando termos constantes, ideais e de excesso:
g = -450\,x_{1} -600\,x_{2} + 3500\bigl(x_{1}\ln x_{1} + x_{2}\ln x_{2}\bigr) + 705\bigl(x_{1}x_{2}^{2} + x_{2}x_{1}^{2}\bigr).
Mas x_{1}x_{2}^{2}+x_{2}x_{1}^{2} = x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2}) = x_{1}x_{2}, pois x_{1}+x_{2}=1. Logo:
g = -450\,x_{1} -600\,x_{2} + 3500\bigl(x_{1}\ln x_{1} + x_{2}\ln x_{2}\bigr) + 705\,x_{1}x_{2}.

Resposta

\displaystyle \bar G_{2} = -600 + 3500\,\ln x_{2} + 705\,x_{1}^{2} \displaystyle g = -450\,x_{1} -600\,x_{2} + 3500\bigl(x_{1}\ln x_{1} + x_{2}\ln x_{2}\bigr) + 705\,x_{1}x_{2}.

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