A Energia de Gibbs em excesso de uma mistura binária líquida, a T e P, é dada por:
GeR T=(-2,6 x1-1,8 x2) x1 x2
Encontre as expressões de ln gamma1 e ln gamma2

Passo 1

Beleza, o exercício diz que numa mistura líquida binária a energia de Gibbs em excesso, dividida por RT, vale
G^ERT ;=;(-2,6,x1 - 1,8,x2),x1,x2
A gente precisa achar as expressões de lngamma1 e lngamma2, onde gammai são os coeficientes de atividade.
Conteúdo envolvido: termodinâmica de soluções, mais precisamente como se calcula coeficiente de atividade a partir da energia de Gibbs em excesso usando derivadas parciais (mescla de molefrações).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a teoria bem devagar, supondo que você nunca viu isso.
  1. A energia de Gibbs em excesso total é G^E = n,RT,g^E, onde g^E = G^ERT e n=n1+n2 é o total de mols.
  2. O coeficiente de atividade gammai satisfaz
mui^E ;=; RT,lngammai,
e a variação do excesso de Gibbs puro em relação a ni dá essa parte excessiva do potencial químico:
mui^E ;=;l(partial (G^E),/,partial nir)T,P,nj
  1. Se escrevermos G^E/RT = n,g^E(x1), com x1 = n1/(n1+n2) e x2=1-x1, dá para mostrar (fazendo a derivada com calma) que
boxed lngamma1 ;=; g^E ;+; x2,dg^Edx1, lngamma2 ;=; g^E ;-; x1,dg^Edx1
Isso é a fórmula-base que a gente vai usar.

Passo 3

Agora, definimos
g^E(x1) ;=; G^ERT ;=;(-2,6,x1 - 1,8,x2),x1,x2
Como x2 = 1 - x1, dá para expandir:
g^E = -2,6,x1^2,x2 ;-;1,8,x1,x2^2
Precisamos de dg^E/dx1. Vamos derivar termo a termo:
  1. Derivada de -2,6,x1^2,x2:
    ddx1(x1^2,x2) = 2,x1,x2 ;+; x1^2,ddx1(x2) = 2,x1,x2 ;-; x1^2
    Multiplicando por -2,6
    -2,6,(2,x1,x2 - x1^2) = -5,2,x1,x2 + 2,6,x1^2
  2. Derivada de -1,8,x1,x2^2:
    ddx1(x1,x2^2) = 1cdot x2^2 + x1cdot 2,x2,d x2dx1 = x2^2 - 2,x1,x2
    Multiplicando por -1,8
    -1,8,(x2^2 - 2,x1,x2) = -1,8,x2^2 + 3,6,x1,x2
Somando os dois pedaços, obtemos
dg^Edx1 = l(-5,2,x1,x2 + 2,6,x1^2r) ;+;l(-1,8,x2^2 + 3,6,x1,x2r) = 2,6,x1^2 -1,8,x2^2 -1,6,x1,x2

Passo 4

Agora aplicamos as fórmulas
lngamma1 = g^E + x2,dg^Edx1, lngamma2 = g^E - x1,dg^Edx1
Lembrando
g^E = -2,6,x1^2,x2 ;-;1,8,x1,x2^2, dg^Edx1 = 2,6,x1^2 -1,8,x2^2 -1,6,x1,x2
  1. Para lngamma1:
lngamma1 = l(-2,6,x1^2,x2 - 1,8,x1,x2^2r) ;+;x2l(2,6,x1^2 -1,8,x2^2 -1,6,x1,x2r)
Fazendo a álgebra (coletando fatores de x2^2) chega-se a
boxed lngamma1 ;=; x2^2,l(-1,8 -1,6,x1r)
  1. Para lngamma2:
lngamma2 = l(-2,6,x1^2,x2 - 1,8,x1,x2^2r) ;-;x1l(2,6,x1^2 -1,8,x2^2 -1,6,x1,x2r),
e isso simplifica para
boxed lngamma2 ;=; x1^2,l(-2,6 +1,6,x2r)

Resposta

boxed lngamma1 = x2^2,l(-1,8 -1,6,x1r), lngamma2 = x1^2,l(-2,6 +1,6,x2r)

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