A energia de Gibbs parcial molar da espécie 1 em uma mistura líquida binária das espécies 1 e 2 é dado por:
A energia de Gibbs molar do componente 2 puro é igual a -
. Determine os valores ou expressões para as seguintes quantidades:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma mistura líquida com duas espécies, a espécie 1 e a espécie 2. A gente conhece a energia de Gibbs parcial molar da espécie 1, que é uma forma de medir quanto essa espécie contribui para a energia total da mistura. Além disso, sabemos a energia de Gibbs molar da espécie 2 quando ela está pura, ou seja, sozinha. A matéria envolvida aqui é Termodinâmica, especificamente sobre como calcular energias em misturas. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam essas energias com as frações molares das espécies na mistura.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é energia de Gibbs parcial molar. É basicamente a contribuição de cada espécie para a energia total da mistura. Se a gente tiver duas espécies, a energia total da mistura (
) é a soma das energias parciais de cada uma multiplicadas pelas suas frações molares (
e
):
Aqui:
-
é a energia de Gibbs parcial molar da espécie 1. -
é a energia de Gibbs parcial molar da espécie 2. -
e são as frações molares das espécies 1 e 2, respectivamente.
Passo 3
Sabemos que em uma mistura binária, as frações molares somam 1:
Então, se conhecemos
, podemos encontrar
como
. Isso vai ser útil para simplificar as equações depois.
Passo 4
Vamos usar a informação que a gente já tem:
A energia de Gibbs parcial molar da espécie 1 é dada por:
E a energia de Gibbs molar da espécie 2 pura (quando
) é:
O que precisamos encontrar são:
-
(que é ) -
(energia total da mistura) -
(energia de Gibbs parcial molar da espécie 2 na mistura)
Passo 5
Vamos começar com
. Na verdade,
é simplesmente
, que a gente já tem:
Isso resolve a primeira parte do que precisamos encontrar.
Passo 6
Agora, vamos calcular a energia total da mistura (
). Usando a fórmula que mencionamos antes:
Temos que saber
para calcular
, mas ainda não temos essa informação. Porém, sabemos a energia de Gibbs da espécie 2 pura, que é quando
. Vamos usar isso para encontrar
quando a espécie 2 está na mistura.
Passo 7
Quando a espécie 2 está pura (
), a energia parcial molar
é igual à energia de Gibbs molar da espécie 2 pura:
Portanto, sabemos que:
Passo 8
Agora que temos
, podemos voltar para a fórmula da energia total da mistura:
Substituindo
:
Lembre-se que
, então:
Passo 9
Vamos agora resumir tudo:
-
Energia de Gibbs parcial molar da espécie 1:
-
Energia de Gibbs parcial molar da espécie 2:
-
Energia total da mistura:
Como
, você pode substituir para ter tudo em termos de
se precisar de uma expressão mais simplificada.
Resposta
As quantidades solicitadas são:
-
Energia de Gibbs parcial molar da espécie 1:
-
Energia total da mistura:
-
Energia de Gibbs parcial molar da espécie 2: