A energia interna, em J / mol, de uma solução líquida binária, a 25^circ C e 1 bar , é representada pela equação:
U=150 x1+225 x2+(15 x1+7,5 x2) x1 x2
Determine as expressões para barU1 e barU2 em termos de x1.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. A gente tem uma solução líquida binária a 25 °C e 1 bar, cuja energia interna molar U (em J/mol) vem dada por
U ;=; 150,x1 ;+;225,x2;+;(15,x1+7,5,x2),x1,x2
onde x1 e x2 são as frações molares dos componentes 1 e 2.
Conteúdo da matéria: propriedades molares parciais (neste caso, energia interna parcial).
O que vamos precisar:
  • Saber que x2=1-x1.
  • A relação entre a propriedade molar total U e as parciais bar U1,bar U2:$$\bar U_{1}=U + x_{2},\frac{dU}{dx_{1}},\qquad\bar U_{2}=U - x_{1},\frac{dU}{dx_{1}}.$$

Passo 2

Primeiro, expressar U só em função de x1. Como x2=1-x1, temos:
  1. A parte linear:
$$150,x_{1}+225,x_{2}=150,x_{1}+225,(1-x_{1})
=225-75,x_{1}. 150,x1+225,x2=150,x1+225,(1-x1) =225-75,x1çã15,x_{1}+7{,}5,x_{2}
=15,x_{1}+7{,}5,(1-x_{1})
=7{,}5+7{,}5,x_{1}. 15,x1+7,5,x2 =15,x1+7,5,(1-x1) =7,5+7,5,x1ã(15,x_{1}+7{,}5,x_{2}),x_{1},x_{2}
=(7{,}5+7{,}5x_{1}),x_{1}(1-x_{1})
=(7{,}5+7{,}5x_{1})(x_{1}-x_{1}^{2}). (15,x1+7,5,x2),x1,x2 =(7,5+7,5x1),x1(1-x1) =(7,5+7,5x1)(x1-x1^2)
U(x_{1})
= \underbrace{225-75,x_{1}}{linear}
;+;\underbrace{7{,}5,x
{1}-7{,}5,x_{1}^{3}}{interação}
=225-67{,}5,x
{1}-7{,}5,x_{1}^{3}.
$$

Passo 3

Agora calculamos a derivada de U em relação a x1:
dUdx1 =ddx1l(225-67,5,x1-7,5,x1^3r) =-67,5 -22,5,x1^2

Passo 4

Aplicamos as fórmulas das parciais molares:
bar U1 =U + x2,dUdx1 e bar U2 =U - x1,dUdx1
Lembrando x2=1-x1, substituímos:
  1. Para bar U1:
    bar U1 &= l(225-67,5,x1-7,5,x1^3r) + (1-x1)l(-67,5 -22,5,x1^2r) &=225-67,5x1-7,5x1^3 -67,5+67,5x1 -22,5x1^2+22,5x1^3 &=(225-67,5) +(-67,5x1+67,5x1) -22,5x1^2 +(-7,5+22,5)x1^3 &=157,5 ;-;22,5,x1^2;+;15,x1^3
  2. Para bar U2:
    bar U2 &=225-67,5x1-7,5x1^3 ;-;x1l(-67,5 -22,5x1^2r) &=225-67,5x1-7,5x1^3 +67,5x1 +22,5x1^3 &=225 +(-67,5x1+67,5x1) +(-7,5+22,5)x1^3 &=225 ;+;15,x1^3

Resposta

As expressões das energias internas molares parciais, em função de x1, são:
boxed bar U1(x1) &= 157,5 ;-;22,5,x1^2;+;15,x1^3, bar U2(x1) &= 225 ;+;15,x1^3

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