Usando a relação entre os calores específicos encontrada em aula, determine o calor específico Cp para n moles do gás de Van der Waals.
CP=Cv+T(partial Ppartial T)V(partial Vpartial T)P

Passo 1

O enunciado pede que a gente use a relação
CP=CV+Tl(partial Ppartial Tr)Vl(partial Vpartial Tr)P
para um gás de Van der Waals descrito pela equação de estado
P+a,n^2V^2=nR,TV-nb,
Vamos então calcular em ordem l(tfracpartial Ppartial Tr)V, depois l(tfracpartial Vpartial Tr)P e, por fim, montar CP.

Passo 2

Diferenciando a equação
P=nR,TV-nb-a,n^2V^2
em relação a T com V fixo, temos
l(partial Ppartial Tr)V =nRV-nb,

Passo 3

Para achar l(tfracpartial Vpartial Tr)P usamos diferenciação implícita da equação de estado, mantendo P constante. Definindo
f(P,V,T)=P-nR,TV-nb+a,n^2V^2=0,
temos
partial fpartial T =-nRV-nb, partial fpartial V =nR,T(V-nb)^2-2a,n^2V^3
Logo,
l(partial Vpartial Tr)P =-partial f/partial Tpartial f/partial V =dfracnRV-nb dfracnR,T(V-nb)^2-dfrac2a,n^2V^3 =R,(V-nb)R,T-dfrac2a,n,(V-nb)^2V^3,

Passo 4

Agora calculamos o acréscimo CP-CV:
CP-CV = T, l(partial Ppartial Tr)V l(partial Vpartial Tr)P = TcdotnRV-nbcdot R,(V-nb)R,T-dfrac2a,n,(V-nb)^2V^3 =n,R^2,T R,T-dfrac2a,n,(V-nb)^2V^3,

Passo 5

Podemos reescrever de modo mais compacto:
CP-CV =nR1-2a,n,(V-nb)^2R,T,V^3 Longrightarrow CP =CV+nR1-dfrac2a,n,(V-nb)^2R,T,V^3,

Resposta

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