7- A energia livre de um sistema magnético é dada pela função G= G(T, H), tal que
d G=-S d T-M d H
onde M é a magnetização e H o campo magnético externo. Considere um sistema magnético obedecendo a “lei de Curie”,
M=C \frac{H}{T}
em que C é uma constante positiva (constante de Curie). Mostre que
c_{M}=c_{H}+D
em que c_{M} e c_{H} são os calores específicos a magnetização e a campo constantes, respectivamente. Qual a expressão de D ? Qual o sinal de D ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem claras:
Foi dada a diferencial da energia livre G(T,H):
dG = -S\,dT - M\,dH,
onde S é a entropia, M a magnetização e H o campo magnético externo.
A magnetização obedece à lei de Curie:
M = C\,\frac{H}{T},
onde C>0 é a constante de Curie.
Definem-se os calores específicos (capacidades térmicas) a campo e a magnetização constantes:
c_{H} é o calor específico a H constante.
c_{M} é o calor específico a M constante.
O que o exercício pede:
Mostrar que existe uma relação do tipo
c_{M}=c_{H}+D,
isto é, obter explicitamente a diferença D entre c_M e c_H.
2. Determinar a expressão de D (em termos das derivadas relevantes e, então, usando a lei de Curie explicitamente).
3. Determinar o sinal de D.
Passo 2
Primeiro, relacionar S e M com derivadas de G. A partir de
dG = -S\,dT - M\,dH,
identificamos as derivadas parciais (em notação comum de termodinâmica):
S = -\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{H},\qquad M = -\left(\frac{\partial G}{\partial H}\right)_{T}.
Explico o que isso significa: a entropia S é a derivada negativa de G em relação a T mantendo H fixo; a magnetização M é a derivada negativa de G em relação a H mantendo T fixo. Essas são definições diretas da diferencial fornecida.
Passo 3
Definir os calores específicos (capacidades térmicas) usados aqui. A definição termodinâmica útil é:
Comentário didático: c_H é quanto de energia térmica (por unidade) é preciso para aumentar a temperatura em 1 unidade mantendo H fixo; c_M é o mesmo, mas mantendo M fixo. Ambas usam a derivada da entropia em relação a T porque calor e entropia estão ligados por dQ = T\,dS.
Passo 4
Obter uma relação útil entre derivadas cruzadas (uma “relação de Maxwell”). Das definições no Passo 2, como S = -G_T e M = -G_H, as segundas derivadas mistas de G são iguais (assumimos regularidade suficiente):
Isso será essencial para ligar derivadas de S com derivadas de M.
Passo 5
Expressar \left(\dfrac{\partial S}{\partial T}\right)_{M} em termos de derivadas à H constante, usando regra da cadeia e a condição dM=0 (manter M constante).
Substituindo \left.\dfrac{dH}{dT}\right|_{M} e usando a relação de Maxwell \left(\dfrac{\partial S}{\partial H}\right)_{T}=\left(\dfrac{\partial M}{\partial T}\right)_{H}, obtemos:
D = -T\cdot \dfrac{C H^{2}}{T^{3}} = -\dfrac{C H^{2}}{T^{2}}.
Portanto a forma explícita usando a lei de Curie é
\boxed{\,D = -\dfrac{C H^{2}}{T^{2}}\,.}
Passo 8
Determinar o sinal de D. Observações:
C>0 (dado).
Para temperaturas físicas T>0 (temperaturas termodinâmicas positivas).
H^{2}\ge 0.
Logo -\dfrac{C H^{2}}{T^{2}} é sempre menor ou igual a zero. Mais precisamente:
Se H\neq 0, então D<0.
Se H=0, então D=0.
Portanto o sinal de D é negativo (ou nulo no caso trivial H=0). Em outras palavras, c_{M}<c_{H} quando há campo magnético externo diferente de zero — o calor necessário para aquecer mantendo M fixo é menor do que mantendo H fixo, para a lei de Curie considerada.
Resposta
c_{M}=c_{H}+D\n D = -T\;\dfrac{\left(\dfrac{\partial M}{\partial T}\right)_{H}^{2}}{\left(\dfrac{\partial M}{\partial H}\right)_{T}} = -\dfrac{C H^{2}}{T^{2}}\n
O sinal de D: D\le 0 (estritamente D<0 para H\neq 0; D=0 se H=0).