Em um ensaio triaxial, uma amostra é adensada para tensão confinante de 200 kPa . As válvulas de drenagem são então fechadas e a pressão confinante é aumentada para 350 kPa , medindo-se a poro-pressão de 141 kPa . Ainda sob condições não drenadas, a carga vertical é aumentada, obtendo-se os valores abaixo. Pede-se:
a) Curva tensão x deformação;
b) Módulos de Young \mathrm{E}_{\text {inicial }} \mathrm{e} \mathrm{E}_{5 \mathrm{o}}
c) Parametros de poro-pressão A e B no instante da ruptura. Considere B inalterado durante o cisalhamento
Deformação vertical (%) 0 2 4 6 8 10
Tensão normal vertical (kPa) 350 551 602 625 632 630
Poro-pressão (kPa) 141 241 237 222 212 206

Passo 1

Resumo do que o enunciado pede e dados fornecidos.
  • O enunciado pede:
    a) Traçar a curva tensão × deformação (interpreto como a curva desviador q versus deformação axial \varepsilon, que é o mais comum em ensaio triaxial não drenado).
    b) Calcular os módulos de Young E_{\text{inicial}} e E_{50} (vou usar a definição usual em geotecnia: E_{\text{inicial}} = módulo tangente inicial, estimado entre 0\% e 2\%; E_{50} = módulo secante correspondente a 50\% do valor máximo do desviador). Se você queria outra definição de E_{5\%}, me desculpe — mas essa é a interpretação padrão de E_{50}.
    c) Calcular os parâmetros de poro-pressão A e B no instante da ruptura. O enunciado diz para considerar B inalterado durante o cisalhamento (ou seja, o B encontrado no carregamento isotrópico vale também durante a fase de cisalhamento).
  • Dados importantes (retirei da tabela do enunciado):
    • Estado inicial após adensamento: tensão confinante inicial 200\\ \mathrm{kPa}. Em seguida as válvulas foram fechadas e a pressão confinante foi aumentada para 350\\ \mathrm{kPa}; mediu-se a poro-pressão 141\\ \mathrm{kPa} após esse aumento isotrópico. (Dado pego do texto.)
    • Durante cisalhamento (vazões fechadas, \emph{não drenado}) temos a tabela fornecida (peguei os números da tabela enviada):
\begin{array}{c|cccccc} \text{Deformação axial }(\%) & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10\\hline \text{Tensão normal vertical }(\mathrm{kPa}) & 350 & 551 & 602 & 625 & 632 & 630\\\ \text{Poro-pressão }(\mathrm{kPa}) & 141 & 241 & 237 & 222 & 212 & 206 \end{array}çããã
  • Observações importantes (informações que vou usar): durante o cisalhamento o confinamento lateral total \sigma_3 permanece igual a 350\\ \mathrm{kPa} (foi fixado depois do incremento isotrópico), logo o desviador total é q=\sigma_1-\sigma_3. A poro-pressão inicial para a fase de cisalhamento é u_0=141\\ \mathrm{kPa}.

Passo 2

Definição de desviador e cálculo do desviador q para cada deformação (explicando por que usamos q).
  • Conceito rápido e didático: no ensaio triaxial o “desviador” q é a diferença entre a tensão axial (vertical) total \sigma_1 e a tensão confinante total \sigma_3. Esse q é a componente que causa cisalhamento e é a curva típica plotada contra deformação axial \varepsilon. Matematicamente:
q = \sigma_1 - \sigma_3.
  • Aqui, \sigma_3=350\\ \mathrm{kPa} (confinamento total mantido) e os valores de \sigma_1 são os da tabela. Vou calcular q para cada deformação.
Cálculos (pegando os \sigma_1 da tabela):
  • para \varepsilon=0\%: q = 350-350 = 0\\ \mathrm{kPa}.
  • para \varepsilon=2\%: q = 551-350 = 201\\ \mathrm{kPa}.
  • para \varepsilon=4\%: q = 602-350 = 252\\ \mathrm{kPa}.
  • para \varepsilon=6\%: q = 625-350 = 275\\ \mathrm{kPa}.
  • para \varepsilon=8\%: q = 632-350 = 282\\ \mathrm{kPa}.
  • para \varepsilon=10\%: q = 630-350 = 280\\ \mathrm{kPa}.
Portanto os pontos (\varepsilon,\; q) que descrevem a curva são os calculados acima.

Passo 3

Construção da curva tensão × deformação (resposta ao item a).
  • Como não posso desenhar aqui, apresento os pares que você colocaria num gráfico: \varepsilon em \% no eixo horizontal e q em \mathrm{kPa} no vertical. (Peguei os dados da tabela e calculei q como em Passo 2.)
\begin{array}{c|cccccc} \varepsilon\;(\%) & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10\\hline q\;(\mathrm{kPa}) & 0 & 201 & 252 & 275 & 282 & 280 \end{array}
  • Observações que ajudam na prova: a curva parte de q=0, cresce até um pico q_{\text{peak}}=282\\ \mathrm{kPa} em \varepsilon=8\% (ruptura/valor máximo) e depois decai ligeiramente para 280\\ \mathrm{kPa} em 10\%. Esse pico em 8\% é o instante da ruptura pedido no item (c).

Passo 4

Definição e cálculo de E_{\text{inicial}} (explicando o que é e como calcular).
  • O que é E_{\text{inicial}}: é o módulo de Young tangente inicial, isto é a inclinação da curva tensão-deformação no início do carregamento. Na prática de prova, costuma-se estimar tomando os primeiros pontos lineares (aqui usaremos o trecho de 0\% a 2\%).
  • Fórmula prática usada:
E_{\text{inicial}} \approx \frac{\Delta q}{\Delta \varepsilon},
onde \Delta q é o aumento do desviador (em \mathrm{kPa}) e \Delta \varepsilon é a variação de deformação absoluta (em fração, não em \%; ou seja, 2\% = 0{,}02).
  • Cálculo entre 0\% e 2\%:
\Delta q = 201\\ \mathrm{kPa}-0\\ \mathrm{kPa}=201\\ \mathrm{kPa}, \qquad \Delta\varepsilon = 0{,}02.
Logo
E_{\text{inicial}} \approx \frac{201}{0{,}02}=10\,050\\ \mathrm{kPa}=10{,}05\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Definição e cálculo de E_{50} (explicando exatamente a definição usada e o procedimento).
  • Definição usada (padrão em geotecnia): E_{50} é o módulo secante correspondente a 50\% do valor máximo do desviador q_{\text{peak}}. Procedimento:
    1. Encontrar q_{\text{peak}}.
    2. Calcular q_{50}=0{,}5\,q_{\text{peak}}.
    3. Determinar a deformação \varepsilon_{50} na qual q=q_{50} (interpolando entre pontos vizinhos se necessário).
    4. Calcular E_{50}=q_{50}/\varepsilon_{50} (usar \varepsilon em fração).
  • Aplicando aos dados:
    • q_{\text{peak}} = 282\\ \mathrm{kPa} (em \varepsilon=8\%, do Passo 3).
    • q_{50} = 0{,}5\times 282 = 141\\ \mathrm{kPa}.
    Agora precisamos da \varepsilon em que q=141\\ \mathrm{kPa}. Observando os dados, entre \varepsilon=0\% e \varepsilon=2\% o q varia de 0 para 201\\ \mathrm{kPa}; supondo variação aproximadamente linear nesse pequeno trecho, interpolamos:
\varepsilon_{50} \approx 0{,}02\times\frac{141}{201}=0{,}02\times 0{,}70149\approx 0{,}01403\\ (\text{fração})=1{,}403\%.çã
Finalmente:
E_{50} = \frac{141}{0{,}01403}\approx 10\,050\\ \mathrm{kPa}=10{,}05\\ \mathrm{MPa}.
  • Comentário amigável: aqui deu o mesmo valor que E_{\text{inicial}} porque a resposta no início do ensaio é bem linear (pequeno cisalhamento), então o secante até 50\% do pico coincide com a tangente inicial.

Passo 6

Cálculo do coeficiente B (Skempton) pela carga isotrópica inicial.
  • Conceito rápido: ao aplicar um incremento isotrópico de tensões em amostra totalmente saturada e em condições não drenadas, a poro-pressão aumenta proporcionalmente ao incremento de tensão aplicada. O coeficiente de Skempton B mede essa proporção: para carregamento isotrópico (aumento uniforme das tensões totais) temos
B = \frac{\Delta u_{\text{isotrópico}}}{\Delta \sigma_{\text{isotrópico}}}.óó
  • No enunciado: o confinamento foi aumentado de 200\\ \mathrm{kPa} para 350\\ \mathrm{kPa}, portanto \Delta\sigma_{\text{isotrópico}}=150\\ \mathrm{kPa}ó, e a poro-pressão medida após esse incremento foi u=141\\ \mathrm{kPa}. Assumimos que antes desse incremento isotrópico a poro-pressão era zero (ou que medimos a variação de poro-pressão associada ao incremento e essa variação é 141\\ \mathrm{kPa}) — essa é a interpretação padrão nestes exercícios.
Cálculo:
B=\frac{141}{150}=0{,}94.

Passo 7

Cálculo do parâmetro A (Skempton) no instante da ruptura, com derivação da fórmula usada.
  • Contexto e fórmula geral (explicação didática): para um incremento genérico de tensões numa amostra saturada não drenada, Skempton propôs que a variação de poro-pressão \Delta u pode ser decomposta em uma parte associada à variação do esforço médio (volumétrica), governada por B, e uma parte associada ao esforço desviador (cisalhamento), governada por um coeficiente A. Uma forma prática e utilizada em testes triaxiais é:
\Delta u = B\,\Delta\sigma_m + A\,\frac{\Delta\sigma_1-\Delta\sigma_3}{3},
onde \Delta\sigma_m é a variação do esforço médio \Delta\sigma_m=(\Delta\sigma_1+2\Delta\sigma_3)/3. No nosso caso, durante o cisalhamento \Delta\sigma_3=0 (confinante mantido constante) e \Delta\sigma_1 é exatamente o incremento axial aplicado desde o início do cisalhamento; além disso \Delta\sigma_1-\Delta\sigma_3=\Delta\sigma_1. Assim, com \Delta\sigma_3=0 obtemos:
\Delta u = B\left(\frac{\Delta\sigma_1}{3}\right) + A\left(\frac{\Delta\sigma_1}{3}\right) = \frac{(B+A)\,\Delta\sigma_1}{3}.
Multiplicando por 3 e isolando A:
3\,\Delta u = (B+A)\,\Delta\sigma_1 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{3\,\Delta u}{\Delta\sigma_1} - B.
  • Aplicação numérica no instante da ruptura:
    • Precisamos das variações durante a fase de cisalhamento (ou seja, incrementos desde o início do cisalhamento, cujo estado inicial tem u_0=141\\ \mathrm{kPa} e \sigma_{1,0}=350\\ \mathrm{kPa}).
    • No instante da ruptura (pico) \sigma_{1,\text{rupt}}=632\\ \mathrm{kPa} e u_{\text{rupt}}=212\\ \mathrm{kPa} (peguei esses valores da tabela).
    • Assim \Delta\sigma_1 = \sigma_{1,\text{rupt}}-\sigma_{1,0} = 632-350 = 282\\ \mathrm{kPa} (note que isso é igual ao q_{\text{peak}}) e \Delta u = u_{\text{rupt}}-u_0 = 212-141 = 71\\ \mathrm{kPa}.
    Substituindo na fórmula:
A = \frac{3\times 71}{282} - 0{,}94 \;=\; \frac{213}{282} - 0{,}94 \;=\; 0{,}7553 - 0{,}94 \;\approx\; -0{,}1847.
  • Interpretação física curta: A\approx -0{,}185 (valor negativo) indica que, além do incremento de poro-pressão devido ao aumento do esforço médio (proporcional a B), houve um efeito de dilatação durante o cisalhamento que reduziu a poro-pressão efetiva (efeito que aparece como valor negativo de A). Em solos drenados isso corresponde ao solo tendendo a dilatar ao cisalhar; em ensaio não drenado essa dilatação tende a reduzir a poro-pressão gerada pela compressão volumétrica.

Passo 8

Resumo final dos resultados calculados (preparando para o campo de resposta).
  • Valores usados foram extraídos da tabela do enunciado e do incremento isotrópico descrito no texto.
  • Principais números obtidos (serão repetidos, de forma sucinta, no campo

Resposta

a) Pontos da curva tensão (desviador) × deformação:
0%: q=0\\ \mathrm{kPa}
2%: q=201\\ \mathrm{kPa}
4%: q=252\\ \mathrm{kPa}
6%: q=275\\ \mathrm{kPa}
8%: q=282\\ \mathrm{kPa}
10%: q=280\\ \mathrm{kPa}
b) E_{\text{inicial}}=10\,050\\ \mathrm{kPa}=10{,}05\\ \mathrm{MPa}
E_{50}=10\,050\\ \mathrm{kPa}=10{,}05\\ \mathrm{MPa}
c) B=0{,}94
A\approx -0{,}185

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