Como os ensembles se relacionam com as condições de contorno e as restrições impostas ao sistema físico?

Passo 1

Nós queremos entender como diferentes ensembles em mecânica estatística (microcanônico, canônico, grand-canônico etc.) aparecem a partir das condições de contorno e das restrições (energia, volume, número de partículas etc.) que impomos ao sistema físico. Vamos ver quais variáveis são mantidas fixas e quais podem flutuar em cada ensemble.

Passo 2

Um ensemble é uma coleção hipotética de muitos sistemas idênticos, cada um deles ocupando uma microconfiguração compatível com certas restrições macroscópicas. Essas restrições correspondem exatamente às condições de contorno e aos vínculos que definimos para o experimento (por exemplo, isolar termicamente ou permitir troca de partículas).

Passo 3

No ensemble microcanônico impomos que a energia E, o volume V e o número de partículas N sejam estritamente fixos.
(N, V, E)\text{ fixos}
Isso equivale a escolher contornos perfeitamente adiabáticos (nenhuma troca de calor) e paredes rígidas e impermeáveis (nenhuma variação de volume ou de partícula). A probabilidade de cada microestado é uniforme sobre o hipersuperfície de energia E.

Passo 4

No ensemble canônico fixamos N, V e a temperatura T, permitindo que a energia do sistema flutue em contato com um termostato.
(N, V, T)\text{ fixos}
Aqui as condições de contorno são tais que o sistema está acoplado termicamente a um reservatório (paredes térmicas móveis ou difusivas). A probabilidade de um microestado de energia E_i é
P_i = \frac{e^{-\beta E_i}}{Z} \quad\text{com}\quad \beta = \frac{1}{k_B T}
e
Z = \sum_i e^{-\beta E_i}
garantindo normalização.

Passo 5

No ensemble grand-canônico fixamos a temperatura T, o volume V e o potencial químico \mu, permitindo trocas tanto de energia quanto de partículas.
(T, V, \mu)\text{ fixos}
As condições de contorno incluem um reservatório térmico e um reservatório de partículas. A probabilidade de um microestado com energia E_i e número de partículas N_i é
P_i = \frac{e^{-\beta (E_i - \mu N_i)}}{\Xi}
onde
\Xi = \sum_{i} e^{-\beta (E_i - \mu N_i)}
é a função de partição grand-canônica.

Passo 6

Podemos ainda definir ensembles isobárico-isotérmico (N,p,T) ou outros, escolhendo como contorno paredes móveis (pressão fixa p) ou outros mecanismos de restrição. Cada escolha de quais variáveis macroscópicas ficam fixas (e quais flutuam) corresponde a determinadas condições de contorno físicas.

Passo 7

Na formulação pelo princípio de máxima entropia, impomos via multiplicadores de Lagrange exatamente essas restrições (energia média, número médio de partículas etc.). Assim, as condições de contorno e vínculos do sistema aparecem naturalmente no ensemble por meio dos parâmetros conjugados ( \beta, \beta\mu, etc.).

Passo 8

Em resumo, o ensemble é a tradução estatística das condições de contorno e das restrições: ao escolher quais variáveis mantemos fixas e quais permitimos flutuar, definimos o ensemble adequado que descreve o sistema físico sob aquelas condições.

Resposta

Os ensembles se originam diretamente das condições de contorno e das restrições impostas (por exemplo, isolamento térmico, paredes rígidas, contato com reservatório de partículas). Cada ensemble (microcanônico, canônico, grand-canônico etc.) corresponde a um conjunto diferente de variáveis macroscópicas fixas e, portanto, a diferentes contornos físicos que determinam quais graus de liberdade (energia, partículas, volume) podem flutuar.

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