A entalpia molar de uma mistura ternária das substâncias a, b e c pode ser descrita pela seguinte expressão:
h=-5000 x_{a}-3000 x_{b}-2500 x_{c}-500 x_{a} x_{b} x_{c}[\mathrm{~J} / \mathrm{mol}]
a) Deduza uma expressão para a entalpia parcial molar do componente " a " em função de \mathrm{x}_{\mathrm{b}}.
b) Calcule a entalpia parcial molar do componente a para uma solução com 1 mol de a, 1 mol de b e 1 mol de c
c) Calcule a entalpia parcial molar do componente a para uma solução com um mol de a, mas sem nenhum b ou c presentes.

Passo 1

O enunciado dá a entalpia molar da mistura ternária (por mol de mistura) e pede três coisas:
  • Expressão dada:
h=-5000 x_{a}-3000 x_{b}-2500 x_{c}-500 x_{a} x_{b} x_{c}\\ [\mathrm{J/mol}]
As perguntas são:
(a) Deduza uma expressão para a entalpia parcial molar do componente a (isto é, \bar{h}_{a}), apresentada em função de x_{b} (ou mostrando a dependência em composição que envolva x_{b}).
(b) Calcule \bar{h}_{a} para a solução com 1 mol de a, 1 mol de b e 1 mol de c.
(c) Calcule \bar{h}_{a} para a solução com 1 mol de a e sem b nem c.

Passo 2

Definição e estratégia: a entalpia parcial molar de a é a derivada da entalpia total H do sistema em relação a n_a (número de mols de a), mantendo T,P,n_b,n_c constantes:
\bar{h}_a=\left(\frac{\partial H}{\partial n_a}\right)_{T,P,n_b,n_c}.
A entalpia total H relaciona-se com a entalpia molar h por H=n\,h, onde n=n_a+n_b+n_c. Uma maneira prática é escrever H em termos de n_a,n_b,n_c e derivar diretamente.

Passo 3

Expressar H em função dos números de mol: como x_i=n_i/n e n x_i = n_i, temos
H=n\,h = n\Big(-5000 x_{a}-3000 x_{b}-2500 x_{c}-500 x_{a} x_{b} x_{c}\Big).
Substituindo n x_a=n_a, n x_b=n_b, n x_c=n_c e n x_a x_b x_c = \dfrac{n_a n_b n_c}{n^2} obtemos
H = -5000\,n_a -3000\,n_b -2500\,n_c -500\;\frac{n_a n_b n_c}{n^2}.
Esta forma é ótima porque ao derivar em relação a n_a só os termos com n_a contribuem.

Passo 4

Derivar H em relação a n_a mantendo n_b,n_c constantes.
Derivada termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial n_a}(-5000 n_a) = -5000.
  • Os termos -3000 n_b e -2500 n_c têm derivada zero (são constantes quando n_b,n_c fixos).
  • Para o último termo defina S=\dfrac{n_a n_b n_c}{n^2}. Com n=n_a+n_b+n_c e K=n_b n_c (constantes ao derivar),
S = K\,\frac{n_a}{n^2}.
Aplicando a regra do produto/quotiente:
\frac{d}{d n_a}\!\left(\frac{n_a}{n^2}\right) = \frac{1}{n^2} - 2\frac{n_a}{n^3} = \frac{n-2n_a}{n^3}.
Portanto
\frac{\partial S}{\partial n_a} = K\,\frac{n-2n_a}{n^3} = n_b n_c\;\frac{n-2n_a}{n^3}.
Multiplicando pelo coeficiente -500,
\frac{\partial}{\partial n_a}\!\left(-500\frac{n_a n_b n_c}{n^2}\right) = -500\,n_b n_c\;\frac{n-2n_a}{n^3}.
Somando todas as contribuições:
\bar{h}_a = -5000 -500\,n_b n_c\;\frac{n-2n_a}{n^3}.

Passo 5

Passar a expressão para frações molares (intensiva), eliminando n. Use n_a=x_a n, n_b=x_b n, n_c=x_c n. Então
n_b n_c\;\frac{n-2n_a}{n^3} = (x_b n)(x_c n)\;\frac{n-2 x_a n}{n^3} = x_b x_c (1-2x_a).
Substituindo na expressão obtida:
\boxed{\bar{h}_a = -5000 -500\,x_b x_c\,(1-2x_a).}
Isto é a expressão para a entalpia parcial molar do componente a. Como x_c=1-x_a-x_b, pode-se também escrever explicitamente em função de x_a e x_b:
\bar{h}_a = -5000 -500\,x_b(1-x_a-x_b)\,(1-2x_a).
Ambas as formas mostram a dependência que envolve x_b.

Passo 6

Parte (b): caso com 1 mol de cada espécie: n_a=n_b=n_c=1\Rightarrow n=3. Assim x_a=x_b=x_c=\dfrac{1}{3}. Substituindo na expressão
\bar{h}_a = -5000 -500\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\left(1-2\cdot\frac{1}{3}\right).
Calcule passo a passo:
x_b x_c = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9}, \qquad 1-2x_a = 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.
Logo o produto é \dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{27}. Assim
\bar{h}_a = -5000 -500\cdot\frac{1}{27} = -5000 -\frac{500}{27} = -\frac{135500}{27}\\ \mathrm{J/mol}\approx -5018{,}52\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 7

Parte (c): caso puro a (1 mol de a, n_b=n_c=0): então x_a=1, x_b=x_c=0. Na expressão
\bar{h}_a = -5000 -500\,x_b x_c\,(1-2x_a)
o termo extra é nulo porque x_b x_c=0. Portanto
\bar{h}_a = -5000\\ \mathrm{J/mol}.

Resposta

(a) \bar{h}_a = -5000 -500\,x_b x_c\,(1-2x_a) (ou \bar{h}_a = -5000 -500\,x_b(1-x_a-x_b)\,(1-2x_a)).
(b) \bar{h}_a = -\dfrac{135500}{27}\\ \mathrm{J/mol} \approx -5018{,}52\\ \mathrm{J/mol}.
(c) \bar{h}_a = -5000\\ \mathrm{J/mol}.

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