A Entalpia de um sistema particular é dada pela relação \boldsymbol{H}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{S}^{\mathbf{2}} \boldsymbol{N}^{-\mathbf{1}} \mathbf{l n}\left(\frac{\boldsymbol{P}}{\boldsymbol{P}_{0}}\right), onde \mathbf{A} é uma constante positiva. Para tal sistema, calcule os calores específicos à volume constante ( \mathbf{c}_{\mathbf{v}} ) e à pressão constante ( \mathbf{c}_{\mathbf{p}} ) como uma função da temperatura \mathbf{T} e da pressão \mathbf{P}. ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado dá a entalpia do sistema como
H = A\,S^{2}N^{-1}\ln\!\left(\frac{P}{P_{0}}\right),
onde A>0 é constante, S é a entropia, P é a pressão, P_{0} uma pressão de referência e N uma quantidade relacionada (ex.: número de mols). O que se pede: calcular os calores específicos à pressão constante c_{p} e à volume constante c_{v} como funções de T e P.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A expressão explícita de H em termos de S e P.
As constantes A>0, P_{0} e N aparecem na expressão.
Deseja-se c_{p}(T,P) e c_{v}(T,P).
Passo 2
Lembrando (acontece direto em prova): a diferencial total da entalpia funda-mental é
dH = T\,dS + V\,dP,
onde T é a temperatura e V o volume do sistema. Dessa relação seguem duas identidades úteis, que vou usar explicitamente e explicar rapidinho:
T = \left(\dfrac{\partial H}{\partial S}\right)_{P}. Isso vem porque ao derivar H(S,P) com P fixo, a variação de H frente a S é exatamente T.
V = \left(\dfrac{\partial H}{\partial P}\right)_{S}. Mesma lógica: derivando H em relação a P com S fixo obtém-se V.
Quanto aos calores:
Por definição, o calor específico à pressão constante é
Portanto as duas quantidades podem ser obtidas encontrando \left(\partial S/\partial T\right)_{P} e \left(\partial S/\partial T\right)_{V}.
Passo 3
Calculo T a partir de H usando T=(\partial H/\partial S)_{P}.
A expressão dada é H = A\,S^{2}N^{-1}\ln\!\left(\dfrac{P}{P_{0}}\right). Derivando em S com P fixo:
Comentário rápido: se \ln(P/P_{0}) for negativa ou positiva apenas altera o sinal/valor de c_{p}; a fórmula vale matematicamente quando \ln(P/P_{0})\neq 0.
Passo 6
Para obter c_{v} preciso de \left(\partial S/\partial T\right)_{V}. Vou obter uma relação entre S,P,V usando V=(\partial H/\partial P)_{S}.
Calculo (\partial H/\partial P)_{S}. Como H=A S^{2}N^{-1}\ln(P/P_{0}),
S^{2} = \frac{N P V}{A}, \qquad S = \sqrt{\frac{N P V}{A}},
escolhendo a raiz positiva por ser entropia.
Passo 7
Vou determinar \left(\partial S/\partial T\right)_{V} por diferenciação implícita, usando que em condição de V fixo S e P estão relacionados por S^{2}=\dfrac{N P V}{A} e também T está relacionado com S e P pela fórmula do Passo 3. Estratégia: obter \dfrac{dS}{dP}\big|_{V}, depois \dfrac{dT}{dP}\big|_{V}, inverter para \dfrac{dP}{dT}\big|_{V} e compor
(a) Diferenciando S^{2}=\dfrac{N P V}{A} com V fixo:
(b) Expressão explícita para T em função de P e V: substituir S=\sqrt{\dfrac{N P V}{A}} em T=\dfrac{2A S}{N}\ln\!\left(\dfrac{P}{P_{0}}\right). Fazendo isso:
T = \frac{2A}{N}\sqrt{\frac{N P V}{A}}\;\ln\!\left(\frac{P}{P_{0}}\right) = 2\sqrt{\frac{A}{N}}\,\sqrt{V}\,\sqrt{P}\;\ln\!\left(\frac{P}{P_{0}}\right).
Para simplificar notação defina C \equiv 2\sqrt{\dfrac{A}{N}}\,\sqrt{V}, então
(Se quiser conferir rápido: a dependência em V e P que estava nas formas intermediárias cancela deixando apenas função de P dentro do log e as constantes N,A.)
Passo 9
Finalmente c_{v}=T(\partial S/\partial T)_{V}. Substituindo o resultado do passo anterior:
Recapitulando, as duas capacidades térmicas encontradas são funções simples de T e P; c_{p} e c_{v} crescem linearmente com T e dependem de \ln(P/P_{0}) conforme obtido.