Dado a relação fundamental \mathrm{S}=\alpha(\mathrm{NVU})^{1 / 3} onde \alpha é uma constante positiva, obtenha a relação fundamental da termodinâmica na representação de Gibbs, a saber, G=G(P, T), e calcule os coeficientes termodinâmicos \alpha(\mathrm{P}, \mathrm{T}), \kappa_{\mathrm{T}}(\mathrm{P}, \mathrm{T}) e \mathrm{c}_{\mathrm{P}}(\mathrm{P}, \mathrm{T}) por diferenciação de \mathrm{G}(\mathrm{P}, \mathrm{T}). Importante: no escopo da termodinâmica, a positividade de tais coeficiente estão diretamente ligadas à estabilidade dos sistemas termodinâmicos por meio de um princípio geral (Princípio de Clausius-Gibbs) e são popularmente conhecidos por coeficiente de expansão térmica ( \alpha ), capacidade térmica à pressão constante ( \mathrm{c}_{\mathrm{p}} ) e coeficiente de compressibilidade térmica \left(\kappa_{\mathrm{T}}\right). Dados: \alpha=(1 / \mathrm{V})(\partial \mathrm{V} / \partial \mathrm{T})_{\mathrm{P}}, \mathrm{c}_{\mathrm{P}}=\mathrm{T}(\partial \mathrm{S} / \partial \mathrm{T})_{\mathrm{P}} e \kappa_{\mathrm{T}}=-(1 / \mathrm{V})( \partial \mathrm{V} / \partial \mathrm{P})_{\mathrm{T}}. Dica: primeiramente encontre a função energia G , em seguida, calcule a diferencia de G , na sequência encontre as variáveis V e S nessa representação de Gibbs, e por fim, diferencie seguindo as relações acima. (4,0 pontos)

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece a relação fundamental (entropia como função de energia interna, volume e número de partículas):
S=\alpha_0\,(N V U)^{1/3},
onde \alpha_0>0 é uma constante (atenção: uso \alpha_0 para a constante dada, para não confundir com o coeficiente de expansão térmica que pedem depois, que chamarei de \alpha(P,T)).
  • Pedidos:
    1. Obter a representação de Gibbs, isto é, G=G(P,T) (vou manter explícito o parâmetro N: G=G(P,T;N)).
    2. Calcular os coeficientes termodinâmicos por diferenciação de G(P,T):
      • coeficiente de expansão térmica \alpha(P,T)=(1/V)\,(\partial V/\partial T)_P,
      • compressibilidade isoterma \kappa_T(P,T)=-(1/V)\,(\partial V/\partial P)_T,
      • capacidade térmica a pressão constante c_P(P,T)=T\,(\partial S/\partial T)_P.
  • Dados úteis e relações termodinâmicas que vou usar (explico cada uma quando aplicar): as relações entre S(U,V,N) e as variáveis termodinâmicas
    \frac{1}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N},\qquad \frac{P}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N},
    e a definição de energia livre de Gibbs (Legendre transform)
    G=U+P V-T S.
A resolução começa agora.

Passo 2

Primeiro cálculo: encontre a derivada (\partial S/\partial U)_{V,N} e determine U como função de T,V,N.
  • Escrevendo S explicitamente:
S=\alpha_0\,N^{1/3}V^{1/3}U^{1/3}.
  • Derivada parcial em relação a U (mantendo V,N fixos):
\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N} =\alpha_0\,N^{1/3}V^{1/3}\cdot\frac{1}{3}U^{-2/3} =\frac{\alpha_0}{3}(N V)^{1/3}U^{-2/3}.
  • Usando \dfrac{1}{T}=(\partial S/\partial U)_{V,N}, obtemos
\frac{1}{T}=\frac{\alpha_0}{3}(N V)^{1/3}U^{-2/3}.
  • Isolando U: primeiro escrevemos
U^{-2/3}=\frac{3}{\alpha_0}\frac{1}{(N V)^{1/3}}\frac{1}{T}.
Invertendo e elevando à potência apropriada,
U^{2/3}=\frac{\alpha_0}{3}(N V)^{1/3}T.
Tomando potência 3/2,
U=\left(\frac{\alpha_0}{3}\right)^{3/2}(N V)^{1/2}T^{3/2}.
  • Para simplificar as constantes defino
C\equiv\left(\frac{\alpha_0}{3}\right)^{3/2},
assim
U(T,V,N)=C\,(N V)^{1/2}T^{3/2}.
Breve comentário didático: essa etapa usa a relação básica 1/T=\partial S/\partial U (é a definição termodinâmica de temperatura a partir da entropia). O procedimento típico é derivar e depois inverter para obter U(T,\dots), o que facilita Legendre transforms.

Passo 3

Agora obtenho P como função de T,V,N usando a outra relação termodinâmica.
  • Calcule (\partial S/\partial V)_{U,N}:
\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N} =\alpha_0\,N^{1/3}U^{1/3}\cdot\frac{1}{3}V^{-2/3} =\frac{\alpha_0}{3}(N U)^{1/3}V^{-2/3}.
  • Como \dfrac{P}{T}=(\partial S/\partial V)_{U,N}, temos
\frac{P}{T}=\frac{\alpha_0}{3}(N U)^{1/3}V^{-2/3}.
  • Substituo U^{1/3} usando U(T,V,N)=C\,(N V)^{1/2}T^{3/2}. Primeiro
U^{1/3}=C^{1/3}(N V)^{1/6}T^{1/2}.
Logo
(N U)^{1/3}=N^{1/3}U^{1/3}=C^{1/3}N^{1/2}V^{1/6}T^{1/2}.
  • Substituindo em P/T:
\frac{P}{T}=\frac{\alpha_0}{3}\,C^{1/3}N^{1/2}V^{1/6}T^{1/2}\;V^{-2/3}.
O expoente em V é 1/6-2/3=1/6-4/6=-3/6=-1/2. Agrupando constantes:
\frac{P}{T}=\left(\frac{\alpha_0}{3}C^{1/3}\right)N^{1/2}V^{-1/2}T^{1/2}.
Como C=(\alpha_0/3)^{3/2}, tem-se \frac{\alpha_0}{3}C^{1/3}=(\alpha_0/3)^{3/2}=C. Portanto
\frac{P}{T}=C\,\bigg(\frac{N}{V}\bigg)^{1/2}T^{1/2}.
  • Finalmente, multiplicando por T,
P(T,V,N)=C\,(N/V)^{1/2}T^{3/2}.
Resumo desta etapa: obtive P em função de T,V,N. Essa expressão será invertida para obter V(T,P,N).

Passo 4

Inverto a relação P(T,V,N)=C\,(N/V)^{1/2}T^{3/2} para encontrar V(T,P,N).
  • Reescrevendo:
\bigg(\frac{N}{V}\bigg)^{1/2}=\frac{P}{C\,T^{3/2}}.
Elevando ao quadrado:
\frac{N}{V}=\frac{P^{2}}{C^{2}T^{3}}.
Logo
V(T,P,N)=N\,\frac{C^{2}T^{3}}{P^{2}}.
  • Substituindo C^2 em termos de \alpha_0: como C=(\alpha_0/3)^{3/2}, então
C^2=\left(\frac{\alpha_0}{3}\right)^3=\frac{\alpha_0^{3}}{27}.
Mas posso manter C^2 para clareza algebraica.
Observação didática: encontrar V(T,P,N) é chave para escrever G em termos de P,T porque G=U+PV-TS e precisamos eliminar V e U em favor de P,T,N.

Passo 5

Calcule U(T,P,N) e S(T,P,N) substituindo V(T,P,N) nas expressões anteriores.
  • Usando U(T,V,N)=C\,(N V)^{1/2}T^{3/2} e V=N C^{2}T^{3}/P^{2}, primeiro calcule (N V)^{1/2}:
N V = N\cdot\frac{N C^{2}T^{3}}{P^{2}}=\frac{N^{2}C^{2}T^{3}}{P^{2}},
(N V)^{1/2}=\frac{N C T^{3/2}}{P}.
Portanto
U(T,P,N)=C\cdot\frac{N C T^{3/2}}{P}\cdot T^{3/2}=\frac{C^{2}N T^{3}}{P}.
  • Calcule P V para referência:
P V=P\cdot\frac{N C^{2}T^{3}}{P^{2}}=\frac{C^{2}N T^{3}}{P}=U.
Ou seja, nesta equação de estado particular U=PV.
  • Calcule S(T,P,N) diretamente da relação S=\alpha_0 (N V U)^{1/3}.
    • Primeiro calcule N V U:
N V U = N\cdot\frac{N C^{2}T^{3}}{P^{2}}\cdot\frac{C^{2}N T^{3}}{P} = \frac{N^{3}C^{4}T^{6}}{P^{3}}.
  • Tomando a raiz cúbica:
(N V U)^{1/3}=N C^{4/3}T^{2}P^{-1}.
  • Então
S(T,P,N)=\alpha_0\,N\,C^{4/3}\frac{T^{2}}{P}.
  • Agora simplifico C^{4/3}. Como C=(\alpha_0/3)^{3/2},
C^{4/3}=\bigg((\alpha_0/3)^{3/2}\bigg)^{4/3}=(\alpha_0/3)^{2}=\frac{\alpha_0^{2}}{9}.
  • Logo
S(T,P,N)=\alpha_0\,N\cdot\frac{\alpha_0^{2}}{9}\cdot\frac{T^{2}}{P} =\frac{\alpha_0^{3}}{9}\,N\,\frac{T^{2}}{P}.
  • Para referência, também expresso U em termos de \alpha_0:
U=\frac{C^{2}N T^{3}}{P},\qquad C^{2}=\left(\frac{\alpha_0}{3}\right)^3=\frac{\alpha_0^{3}}{27},
portanto
U(T,P,N)=\frac{\alpha_0^{3}}{27}\,\frac{N T^{3}}{P}.

Passo 6

Obtenha a energia livre de Gibbs G(T,P,N)=U+P V-T S substituindo as expressões encontradas.
  • Já vimos que U=PV, logo U+PV=2U. Então
G=2U-T S.
  • Substituindo as formas:
2U=2\cdot\frac{\alpha_0^{3}}{27}\frac{N T^{3}}{P}=\frac{2\alpha_0^{3}}{27}\frac{N T^{3}}{P},
T S=T\cdot\frac{\alpha_0^{3}}{9}\frac{N T^{2}}{P}=\frac{\alpha_0^{3}}{9}\frac{N T^{3}}{P}.
  • Portanto
G=\left(\frac{2\alpha_0^{3}}{27}-\frac{\alpha_0^{3}}{9}\right)\frac{N T^{3}}{P}.
Como \dfrac{\alpha_0^{3}}{9}=\dfrac{3\alpha_0^{3}}{27}, temos
\frac{2}{27}-\frac{3}{27}=-\frac{1}{27},
logo
G(T,P,N)=-\frac{\alpha_0^{3}}{27}\,\frac{N T^{3}}{P}.
Essa é a representação de Gibbs pedida: G expresso como função de T e P (com N como parâmetro).

Passo 7

Agora calculo os coeficientes termodinâmicos pedidos a partir das fórmulas fornecidas, usando as expressões obtidas para V(T,P,N) e S(T,P,N).
  1. Coeficiente de expansão térmica
\alpha(P,T)=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
  • Usando V(T,P,N)=N C^{2}T^{3}/P, a derivada em T (com P fixo) é
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}=\frac{N C^{2}}{P}\cdot 3T^{2}.
  • Então
\alpha(P,T)=\frac{1}{V}\cdot\frac{3N C^{2}T^{2}}{P}.
  • Como V=\dfrac{N C^{2}T^{3}}{P}, ao dividir cancela-se e fica
\alpha(P,T)=\frac{3}{T}.
Observação: o resultado não depende de P nem de N (apenas de T). Para temperaturas positivas temos \alpha>0.
  1. Compressibilidade isoterma
\kappa_T(P,T)=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}.
  • Com V=N C^{2}T^{3}/P, a derivada em P (com T fixo) é
\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}=-\frac{N C^{2}T^{3}}{P^{2}}=-\frac{V}{P}.
  • Assim
\kappa_T(P,T)=-\frac{1}{V}\cdot\left(-\frac{V}{P}\right)=\frac{1}{P}.
Novamente resultado simples: \kappa_T=1/P, positivo para P>0.
  1. Capacidade térmica a pressão constante
c_P(P,T)=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P}.
  • Com S(T,P,N)=\dfrac{\alpha_0^{3}}{9}\dfrac{N T^{2}}{P}, temos
\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P}=\frac{\alpha_0^{3}}{9}\frac{N\cdot 2T}{P}=\frac{2\alpha_0^{3}}{9}\frac{N T}{P}.
  • Portanto
c_P(P,T)=T\cdot\frac{2\alpha_0^{3}}{9}\frac{N T}{P}=\frac{2\alpha_0^{3}}{9}\frac{N T^{2}}{P}.
  • Observação útil: comparando com S,
S=\frac{\alpha_0^{3}}{9}\frac{N T^{2}}{P}\quad\Rightarrow\quad c_P=2S,
ou seja c_P é duas vezes a entropia nessa representação (para as variáveis fixadas aqui).

Passo 8

Comentários finais sobre sinais (estabilidade): com \alpha_0>0, N>0, T>0 e P>0 temos
\alpha(P,T)=\frac{3}{T}>0,\qquad \kappa_T(P,T)=\frac{1}{P}>0,\qquad c_P(P,T)=\frac{2\alpha_0^{3}}{9}\frac{N T^{2}}{P}>0.
A positividade desses coeficientes é compatível com o princípio de estabilidade termodinâmica (Princípio de Clausius-Gibbs): para um sistema estável a capacidade térmica e a compressibilidade isoterma devem ser positivas.

Resposta

G(T,P,N)=-\frac{\alpha_0^{3}}{27}\,\frac{N T^{3}}{P}
\alpha(P,T)=\frac{3}{T}
\kappa_T(P,T)=\frac{1}{P}
c_P(P,T)=\frac{2\alpha_0^{3}}{9}\,\frac{N T^{2}}{P}

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