Ar entra em um compressor isolado operando em regime permanente a 0,95 bar e 27^{\circ} \mathrm{C} a uma vazão mássica de 4.000 kg/h e sai a 8,7 bar. Efeitos de energia cinética e energia potencial são desprezados. Determine:
a) Determine a potência mínima teórica necessária, em kJ/kg e a temperatura de descarga correspondente, em { }^{\circ} \mathrm{C}.
b) Se a temperatura de saída é de 620 K , determine a potência necessária , em kJ/kg, e a eficiência isoentrópica do compressor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tirei estes números do enunciado).
  • Dados de entrada:
    • Pressão de entrada: P_1=0{,}95\\ \text{bar}.
    • Temperatura de entrada: T_1=27^\circ\text{C}.
    • Vazão mássica: \dot m=4000\\ \text{kg/h} (informação dada, pode ser usada para potência total).
    • Pressão de saída: P_2=8{,}7\\ \text{bar}.
    • Efeitos de energia cinética e potencial desprezados.
  • Perguntas:
    (a) Determinar a potência mínima teórica necessária, em \mathrm{kJ/kg}, e a temperatura de descarga correspondente, em ^\circ\mathrm{C}.
    (b) Sabendo que a temperatura de saída real é T_2=620\\ \mathrm{K}, determinar a potência necessária, em \mathrm{kJ/kg}, e a eficiência isoentrópica do compressor.

Passo 2

Observações e hipóteses necessárias (muito importantes para a resolução prática):
  • Um compressor isolado e operando em regime permanente, para o trabalho mínimo, deve operar de forma reversível e adiabática, isto é, isoentrópico. Portanto o “mínimo teórico” corresponde ao trabalho de compressão isoentrópico entre os estados dados.
  • Para ar vamos assumir comportamento de gás ideal com calor específico constante (aproximação usual à temperatura ambiente):
    • c_p=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • \gamma=\dfrac{c_p}{c_v}=1{,}4.
    • R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (não será necessário explicitamente, só para referência).
      Estas são valores padrão para ar seco à temperatura ambiente; a aproximação é típica em problemas de prova e permite resolver sem tabela complexa.

Passo 3

Conversões iniciais e valores numéricos:
  • Converter temperatura inicial para kelvin:
T_1 = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273{,}15 = 300{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular a razão de pressão:
\frac{P_2}{P_1}=\frac{8{,}7}{0{,}95}=9{,}1578947368\\ (\text{aprox. }9{,}1579).

Passo 4

Fórmula isoentrópica para gás ideal (explicação didática):
  • Para um gás ideal submetido a um processo isoentrópico (adiabático e reversível), vale a relação entre temperaturas e pressões:
\frac{T_{2s}}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Aqui:
  • T_1 é a temperatura na entrada (K).
  • T_{2s} é a temperatura de descarga para o processo isoentrópico (K).
  • P_1,P_2 são as pressões inicial e final.
  • \gamma é a razão entre calores específicos (adiabática constante).
    Esta fórmula vem de combinar a lei PV^\gamma= const com a equação de estado PV=RT; é a relação padrão usada para compressão isotérmica isoentrópica de gás ideal.

Passo 5

Calcular a temperatura de descarga isoentrópica (T_{2s}):
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{1{,}4-1}{1{,}4}=\frac{0{,}4}{1{,}4}=\frac{2}{7}\approx0{,}285714.
T_{2s}=T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} =300{,}15\cdot\left(9{,}1578947368\right)^{0{,}285714}\approx565{,}75\\ \mathrm{K}.
Converter para graus Celsius:
T_{2s}(^\circ\mathrm{C})=565{,}75-273{,}15=292{,}60^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Determinar a potência específica mínima (trabalho isoentrópico por unidade de massa):
  • Para compressão adiabática reversível em gás ideal, o trabalho específico (energia por massa) é dado por:
w_{s}=c_p\left(T_{2s}-T_1\right).
Explicando: c_p é o calor específico à pressão constante (energia por massa e por grau), e a variação c_p\Delta T dá a energia necessária por kg para elevar a temperatura do gás no processo isoentrópico (esta é a forma prática quando se usa a aproximação de c_p constante).
Calcule:
\Delta T_s=T_{2s}-T_1=565{,}75-300{,}15=265{,}60\\ \mathrm{K}.
w_{s}=1{,}005\cdot 265{,}60 \approx 266{,}93\\ \mathrm{kJ/kg}.
Esse é o trabalho mínimo teórico (por kg).

Passo 7

Parte (b) — trabalho e eficiência quando a saída real é T_2=620\\ \mathrm{K}:
  • Primeiro calcular o trabalho real específico (por kg) usando a mesma expressão com a temperatura real:
w_{a}=c_p\left(T_{2}-T_1\right) =1{,}005\cdot\left(620-300{,}15\right) =1{,}005\cdot 319{,}85\approx 321{,}45\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Definição de eficiência isoentrópica do compressor (explicação):
    • A eficiência isoentrópica \eta_{s} mede quanto do trabalho real se aproxima do trabalho isoentrópico ideal. Para compressor define-se:
\eta_{s}=\frac{w_{s}}{w_{a}}.
(Interpretação: se o compressor fosse ideal isoentrópico, gastaria w_s; na prática gasta w_a; razão indica eficiência do processo).
  • Calcular \eta_s:
\eta_{s}=\frac{266{,}93}{321{,}45}\approx 0{,}8305\approx 83{,}05\%.

Passo 8

Observação prática (útil na prova): se quiser a potência total do compressor em kW, converta a vazão mássica para \mathrm{kg/s} e multiplique por w em \mathrm{kJ/kg}:
\dot m=\frac{4000\\ \mathrm{kg}}{3600\\ \mathrm{s}}=1{,}111\ldots\\ \mathrm{kg/s}.
Potência mínima teórica (total):
\dot W_{s}=\dot m\cdot w_{s}\approx 1{,}1111\cdot 266{,}93\approx 296{,}59\\ \mathrm{kW}.
Potência real (total) para T_2=620\\ \mathrm{K}:
\dot W_{a}=\dot m\cdot w_{a}\approx 1{,}1111\cdot 321{,}45\approx 357{,}17\\ \mathrm{kW}.
(Isto não foi pedido explicitamente, mas costuma ser útil em exercícios práticos.)

Resposta

(a) w_{s}=266{,}93\\ \mathrm{kJ/kg}
(a) T_{2s}=292{,}60^\circ\mathrm{C}
(b) w_{a}=321{,}45\\ \mathrm{kJ/kg}
(b) \eta_{s}=83{,}05\%

Exercícios relacionados