(Enunciados da Segunda Lei e ciclo de Carnot) Uma máquina térmica opera entre uma fonte quente a 800 K e uma fonte fria a 300 K . Em cada ciclo, a máquina recebe 1500 kJ da fonte quente.
(a) Qual é a eficiência térmica máxima possível (Carnot)?
(b) Se a máquina real rejeita 900 kJ para a fonte fria por ciclo, calcule sua eficiência real e a geração de entropia total por ciclo.
(c) Explique, com base nos enunciados de Kelvin-Planck e Clausius, por que a eficiência real não pode atingir a eficiência de Carnot.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei estes valores do enunciado).
  • Dados:
    • Temperatura da fonte quente: \,T_h = 800\\ \text{K}.
    • Temperatura da fonte fria: \,T_c = 300\\ \text{K}.
    • Calor recebido da fonte quente por ciclo: \,Q_h = 1500\\ \text{kJ}.
    • (No item (b) há também) Calor rejeitado para a fonte fria por ciclo em um motor real: \,Q_c = 900\\ \text{kJ}.
  • O enunciado pede:
    (a) A eficiência térmica máxima possível (Carnot) entre essas duas temperaturas.
    (b) Para a máquina real que rejeita \,Q_c = 900\\ \text{kJ}: calcular (i) a eficiência real e (ii) a geração de entropia total por ciclo.
    (c) Explicar, com base nos enunciados de Kelvin–Planck e Clausius, por que a eficiência real não pode atingir a eficiência de Carnot.

Passo 2

Entendendo e lembrando fórmulas úteis (aulas rápidas e intuitivas).
  • A eficiência térmica de uma máquina térmica é definida por
\eta = \frac{W}{Q_h},
onde \,W é o trabalho útil extraído por ciclo e \,Q_h é o calor recebido da fonte quente por ciclo. Aqui a convenção é que \,Q_h>0 entra no sistema e \,Q_c>0 sai para a fonte fria.
  • Pela conservação de energia (primeira lei), num ciclo:
W = Q_h - Q_c.
  • Para uma máquina de Carnot (reversível) entre duas fontes térmicas, vale a relação entre calores trocados
\frac{Q_c}{Q_h}=\frac{T_c}{T_h},
onde \,T_h e \,T_c são as temperaturas absolutas das fontes. Isso leva à eficiência de Carnot:
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Explicando didaticamente: numa máquina reversível a razão entre os calores é igual à razão das temperaturas porque as trocas de calor ocorrem de forma reversível (sem geração líquida de entropia); isso garante que a eficiência máxima possível depende só das temperaturas das fontes.

Passo 3

Calcular a eficiência de Carnot com os números dados.
  • Substituindo \,T_h = 800\\ \text{K} e \,T_c = 300\\ \text{K} em \eta_{\text{Carnot}} = 1 - T_c/T_h:
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{300}{800}.
  • Calculemos passo a passo:
\frac{300}{800} = \frac{3}{8} = 0,375.
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - 0,375 = 0,625.
  • Em porcentagem isso é \,0,625 \times 100\% = 62,5\%.

Passo 4

Calcular o trabalho por ciclo e a eficiência real da máquina que rejeita \,Q_c = 900\\ \text{kJ}.
  • Pelo balanço energético por ciclo:
W = Q_h - Q_c = 1500\\ \text{kJ} - 900\\ \text{kJ} = 600\\ \text{kJ}.
  • A eficiência real é
\eta = \frac{W}{Q_h} = \frac{600\\ \text{kJ}}{1500\\ \text{kJ}}.
  • Simplificando:
\frac{600}{1500} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0,4.
  • Em porcentagem: \,0,4 \times 100\% = 40\%.

Passo 5

Calcular a geração de entropia total por ciclo (explicando a ideia e as fórmulas).
  • Lembrete: para um reservatório térmico ideal que troca um calor \,Q a temperatura constante \,T, a variação de entropia do reservatório é
\Delta S = -\frac{Q}{T}
se o calor \,Q sai do reservatório (ou seja, se o sistema recebe \,Q do reservatório, o reservatório perde calor e sua entropia muda por esse valor com sinal negativo). Aqui é importante o sinal.
  • Para o ciclo da máquina térmica:
    • A variação de entropia da fonte quente (reservatório quente), que perde \,Q_h, é
    \Delta S_h = -\frac{Q_h}{T_h}.
    • A variação de entropia da fonte fria (reservatório frio), que recebe \,Q_c, é
    \Delta S_c = +\frac{Q_c}{T_c}.
    • Como a máquina em si faz um ciclo, sua variação de entropia é zero.
    • Logo a geração de entropia total por ciclo (entropia do universo) é
    \Delta S_{\text{total}} = \Delta S_h + \Delta S_c = -\frac{Q_h}{T_h} + \frac{Q_c}{T_c}.
  • Agora substituímos os números (usando unidades \text{kJ/K}):
    • Calcule \Delta S_h:
    \Delta S_h = -\frac{1500\\ \text{kJ}}{800\\ \text{K}} = -1,875\\ \text{kJ/K}.
    • Calcule \Delta S_c:
    \Delta S_c = \frac{900\\ \text{kJ}}{300\\ \text{K}} = 3,0\\ \text{kJ/K}.
    • Soma:
    \Delta S_{\text{total}} = -1,875\\ \text{kJ/K} + 3,0\\ \text{kJ/K} = 1,125\\ \text{kJ/K}.
  • Em unidades mais usuais isso é \,1{,}125\\ \text{kJ/K} = 1125\\ \text{J/K}.
  • Interpretação: \Delta S_{\text{total}}>0 indica que o processo é irreversível (houve geração de entropia). Se fosse reversível teríamos \Delta S_{\text{total}}=0.

Passo 6

Comparação com o caso ideal (Carnot) para destacar por que o real fica abaixo do ideal.
  • Para um ciclo de Carnot recebendo \,Q_h = 1500\\ \text{kJ}, a relação reversível dá
Q_{c,\text{Carnot}} = Q_h\frac{T_c}{T_h} = 1500\\ \text{kJ}\times\frac{300}{800}.
  • Calcule:
\frac{300}{800}=0,375,\qquad Q_{c,\text{Carnot}}=1500\times0,375=562,5\\ \text{kJ}.
  • O trabalho de um Carnot seria
W_{\text{Carnot}} = Q_h - Q_{c,\text{Carnot}} = 1500 - 562{,}5 = 937{,}5\\ \text{kJ},
o que corresponde a \eta_{\text{Carnot}} = 937{,}5/1500 = 0,625 (consistente com passo 3).
  • Para o motor real dado, Q_c = 900\\ \text{kJ} é maior que Q_{c,\text{Carnot}} = 562{,}5\\ \text{kJ}. Isso significa que o motor real rejeita mais calor e produz menos trabalho do que um Carnot ideal com as mesmas fontes — consequência da irreversibilidade e da geração positiva de entropia calculada no passo 5.

Passo 7

Explicação baseada nos enunciados de Kelvin–Planck e Clausius (linguagem clara e intuitiva).
  • Enunciado de Kelvin–Planck (versão informal): “É impossível construir uma máquina térmica que, operando em ciclo, transforme integralmente o calor recebido de uma única fonte térmica em trabalho líquido, sem rejeitar calor para outra fonte.” Em outras palavras, não existe motor cíclico com \eta = 1.
    • Aplicação aqui: Mesmo que o motor real não converta tudo em trabalho, a limitação de Kelvin–Planck proíbe conversão total. A eficiência máxima permitida por leis da termodinâmica entre duas temperaturas é a eficiência de Carnot, que é menor que 1.
  • Enunciado de Clausius (versão informal): “É impossível fazer um processo cujo único resultado seja a transferência de calor de um corpo mais frio para um corpo mais quente.” Isso está relacionado à necessidade de trabalho para transferir calor contra gradiente e, mais genericamente, ao caráter direcional da geração de entropia.
  • Ligação com irreversibilidade e por que não se alcança Carnot:
    • Uma máquina atinge a eficiência de Carnot somente se operar de forma perfeitamente reversível (nenhuma produção de entropia). Reversibilidade exige, entre outras coisas, que as trocas de calor ocorram sem diferenças finitas de temperatura (infinitesimais), o que na prática implica processos infinitamente lentos (potência nula) e ausência de atritos, perdas, resistências de transferência, etc.
    • Qualquer processo real tem irreversibilidades (diferenças finitas de temperatura durante transferência de calor, atrito, dissipação, não equilíbrio, perdas internas), e essas irreversibilidades geram entropia positiva. Como vimos no passo 5, o motor real tem \Delta S_{\text{total}}=1{,}125\\ \text{kJ/K}>0. Esse excesso de entropia é exatamente o motivo pelo qual Q_c aumenta (em comparação com o reversível) e o trabalho extraído diminui.
    • Portanto, por Kelvin–Planck + Clausius: não se pode ter um motor real reversível perfeito; gerar entropia positiva é inevitável em dispositivos práticos, e isso impede atingir a eficiência de Carnot.

Resposta

(a) \eta_{\text{Carnot}} = 0,625 = 62{,}5\%
(b) \eta_{\text{real}} = 0,4 = 40\%
\Delta S_{\text{total}} = 1{,}125\\ \text{kJ/K} = 1125\\ \text{J/K}
(c) A eficiência real não alcança a eficiência de Carnot porque motores reais têm irreversibilidades (trocas de calor com diferenças finitas de temperatura, atrito, perdas internas) que geram entropia positiva; Carnot exige processos perfeitamente reversíveis (sem geração de entropia), condição impossível de realizar na prática segundo os enunciados de Kelvin–Planck e Clausius.

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