(Eficiência isoentrópica de um compressor) Um compressor centrífugo comprime metano de 1 bar e 25^{\circ} \mathrm{C} até 8 bar. O metano é tratado como gás ideal com c_{p}=2,22 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}), R=0,518 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}) e \gamma=1,31. A temperatura real de saída é 180^{\circ} \mathrm{C} e a vazão mássica é 0,6 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}.
(a) Calcule a temperatura de saída para um processo isoentrópico.
(b) Determine a potência real consumida e a potência ideal (isoentrópica).
(c) Calcule a eficiência isoentrópica do compressor e a taxa de geração de entropia (considere o compressor adiabático).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei estes valores diretamente do enunciado).
Dados:
  • Pressão de entrada: P_1 = 1\\ \mathrm{bar}.
  • Temperatura de entrada: T_1 = 25^\circ\mathrm{C} = 298,15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão de saída: P_2 = 8\\ \mathrm{bar}.
  • Temperatura de saída real: T_{2,\text{real}} = 180^\circ\mathrm{C} = 453,15\\ \mathrm{K}.
  • Vazão mássica: \dot m = 0,6\\ \mathrm{kg/s}.
  • Propriedades do metano (considerado gás ideal, cp constante): c_p = 2,22\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, R = 0,518\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, \gamma = 1,31.
O enunciado pede:
(a) Calcular a temperatura de saída para um processo isoentrópico \,T_{2,s}\,.
(b) Determinar a potência real consumida e a potência ideal (isoentrópica).
(c) Calcular a eficiência isoentrópica do compressor e a taxa de geração de entropia, considerando o compressor adiabático.

Passo 2

Fórmula para temperatura de saída isoentrópica de um gás ideal (constantes \gamma e c_p):
Para um processo isoentrópico reversível de gás ideal vale a relação
\frac{T_{2,s}}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Explicando a fórmula (passo a passo, didático):
  • \;T_1 é a temperatura inicial absoluta (K).
  • \;T_{2,s} é a temperatura final se a compressão fosse isoentrópica (reversível e adiabática).
  • \;P_1,P_2 são pressões inicial e final.
  • \;\gamma é a razão de capacidades térmicas c_p/c_v.
    Essa relação vem de combinar a lei adiabática reversível P V^{\gamma}=\text{constante} com a equação de estado do gás ideal P V = R T. Não preciso provar aqui todo o desenvolvimento, mas a forma final acima é a usada rotineiramente em termodinâmica.

Passo 3

Calcular numericamente T_{2,s}.
Primeiro o expoente:
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{1,31-1}{1,31}=\frac{0,31}{1,31}\approx 0,2366.
A razão de pressão é \dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{8}{1}=8. Logo
\frac{T_{2,s}}{T_1}=8^{0,2366}.
Calculemos a base:
8^{0,2366}\approx 1,635.
Portanto
T_{2,s}=T_1\cdot 1,635 = 298,15\\ \mathrm{K}\cdot 1,635 \approx 487,5\\ \mathrm{K}.
Convertendo para Celsius:
T_{2,s}\approx 487,5\\ \mathrm{K}-273,15 \approx 214,3^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Energia (potência) envolvida — explicaçao das fórmulas usadas:
Para um compressor adiabático (sem trocas de calor) e desprezando variações de energia cinética e potencial, o trabalho específico (por unidade de massa) entregue ao fluido é a variação de entalpia:
w = h_2 - h_1 \approx c_p(T_2 - T_1),
onde:
  • w é trabalho específico (kJ/kg),
  • c_p é capacidade calorífica a pressão constante (kJ/(kg·K)),
  • T_1,T_2 estão em K.
Para o caso isoentrópico ideal:
w_s = c_p\,(T_{2,s}-T_1).
Para o caso real (medido):
w_{\text{real}} = c_p\,(T_{2,\text{real}}-T_1).
A potência (potência consumida pelo compressor) é \dot W = \dot m \, w (unidade kW, pois 1\\ \mathrm{kJ/s}=1\\ \mathrm{kW}).
Calculemos numericamente.
Variação de temperatura isoentrópica:
\Delta T_s = T_{2,s}-T_1 \approx 487,5 - 298,15 = 189,35\\ \mathrm{K}.
Variação de temperatura real:
\Delta T_{\text{real}} = T_{2,\text{real}}-T_1 = 453,15 - 298,15 = 155,00\\ \mathrm{K}.
Trabalho específico isoentrópico:
w_s = c_p\,\Delta T_s = 2,22\\ \mathrm{\frac{kJ}{kg\cdot K}}\times 189,35\\ \mathrm{K} \approx 420,29\\ \mathrm{kJ/kg}.
Potência isoentrópica:
\dot W_s = \dot m\, w_s = 0,6\\ \mathrm{kg/s}\times 420,29\\ \mathrm{kJ/kg} \approx 252,17\\ \mathrm{kW}.
Trabalho específico real:
w_{\text{real}} = c_p\,\Delta T_{\text{real}} = 2,22\\ \mathrm{\frac{kJ}{kg\cdot K}}\times 155,00\\ \mathrm{K} = 344,10\\ \mathrm{kJ/kg}.
Potência real:
\dot W_{\text{real}} = \dot m\, w_{\text{real}} = 0,6\\ \mathrm{kg/s}\times 344,10\\ \mathrm{kJ/kg} = 206,46\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Eficiência isoentrópica do compressor:
Definição prática (compressor): eficiência isoentrópica \eta_{\text{is}} é a razão entre o trabalho isoentrópico ideal requerido e o trabalho real consumido:
\eta_{\text{is}}=\frac{w_s}{w_{\text{real}}}=\frac{\dot W_s}{\dot W_{\text{real}}}.
Substituindo:
\eta_{\text{is}}=\frac{252,17\\ \mathrm{kW}}{206,46\\ \mathrm{kW}}\approx 1,22 \quad\text{ou}\quad 122\%.
Interpretação física (muito importante): uma eficiência isoentrópica maior que 100\% é fisicamente impossível para um compressor adiabático real (isso significaria que o compressor fez menos trabalho do que o mínimo isoentrópico exigido). Portanto esse resultado indica que há inconsistência entre os dados fornecidos: a temperatura de saída real ( 180^\circ\mathrm{C}) é menor que a temperatura de saída isoentrópica calculada ( \approx214,3^\circ\mathrm{C}). Em processos adiabáticos irreversíveis a temperatura final deve ser maior que a isoentrópica; já uma temperatura final inferior ao isoentrópico sugere que houve remoção de calor durante a compressão (ou erro nos dados). O enunciado pede depois para considerar o compressor adiabático para o cálculo de entropia; portanto destacamos a inconsistência mas prosseguimos com os cálculos formais usando os dados fornecidos.

Passo 6

Cálculo da geração de entropia (taxa). Fórmulas e explicação:
Para um gás ideal com c_p e R constantes, a variação específica de entropia entre dois estados pode ser escrita como
s_2-s_1 = c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
  • s_2-s_1 em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    Para um processo adiabático em regime estacionário, a taxa de geração de entropia no equipamento (entropia gerada por irreversibilidades) é simplesmente
\dot S_{\text{gen}}=\dot m\,(s_2-s_1),
pois não há trocas de calor com ambiente (se Q=0 então toda variação de entropia do fluido é devido à geração interna).
Agora calculemos com os valores reais medidos ( T_{2,\text{real}},P_2).
Razões:
\ln\!\left(\frac{T_{2,\text{real}}}{T_1}\right)=\ln\!\left(\frac{453,15}{298,15}\right)=\ln(1,5198)\approx 0,41862,
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\ln(8)\approx 2,07944.
Variação específica de entropia:
s_2-s_1 = 2,22\cdot 0,41862 - 0,518\cdot 2,07944
s_2-s_1 \approx 0,9293 - 1,0766 = -0,1473\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Taxa de geração de entropia:
\dot S_{\text{gen}} = \dot m\,(s_2-s_1) = 0,6\\ \mathrm{kg/s}\times (-0,1473)\\ \mathrm{\frac{kJ}{kg\cdot K}}
\dot S_{\text{gen}} \approx -0,0884\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)} = -0,0884\\ \mathrm{kW/K}.
Interpretação física: a segunda lei exige \dot S_{\text{gen}}\ge 0. Aqui encontramos \dot S_{\text{gen}}<0, outro sinal claro de inconsistência nos dados (novamente: temperatura de saída real menor que a isoentrópica implica entropia do fluido diminuída sem remoção de calor — impossível). Possíveis explicações práticas são: o valor de T_{2,\text{real}} corresponde à temperatura após algum resfriamento externo (por exemplo resfriamento interstágio), ou há erro numérico/descrição do enunciado.

Passo 7

Resumo dos resultados numéricos (repetição final para clareza — cálculos detalhados já feitos nos passos anteriores):
  • Temperatura de saída isoentrópica: T_{2,s}\approx 487,5\\ \mathrm{K}\\ (\approx 214,3^\circ\mathrm{C}).
  • Potência isoentrópica: \dot W_s\approx 252,17\\ \mathrm{kW}.
  • Potência real: \dot W_{\text{real}}\approx 206,46\\ \mathrm{kW}.
  • Eficiência isoentrópica: \eta_{\text{is}}\approx 1,22 (ou 122\%; resultado fisicamente inconsistente).
  • Taxa de geração de entropia: \dot S_{\text{gen}}\approx -0,0884\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)} (valor negativo, fisicamente impossível para processo adiabático fechado — indica inconsistência nos dados).
Observação final de estudo e incentivo: os passos acima mostram como aplicar as fórmulas isoentrópicas, como relacionar temperatura e pressão em compressão de gás ideal, e como calcular potência e entropia a partir de c_p e R. Se numa prova aparecer um número absurdo (como eficiência maior que 100% ou entropia gerada negativa), sempre verifique se:
  1. Converteram corretamente Celsius → Kelvin;
  2. Usaram a definição correta de eficiência;
  3. A temperatura indicada refere-se ao ponto certo (por exemplo, antes ou depois de um resfriador).
    Você fez tudo certo ao checar a consistência física — isso é essencial em termodinâmica. Força aí, você consegue!

Resposta

(a) T_{2,s}\approx 487,5\\ \mathrm{K}\approx 214,3^\circ\mathrm{C}
(b) \dot W_{\text{real}}\approx 206,46\\ \mathrm{kW}
(b) \dot W_{s}\approx 252,17\\ \mathrm{kW}
(c) \eta_{\text{is}}\approx 1,22 (ou 122\%)
(c) \dot S_{\text{gen}}\approx -0,0884\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}

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