(Eficiência isoentrópica de um compressor) Um compressor centrífugo comprime metano de 1 bar e
até 8 bar. O metano é tratado como gás ideal com
e
. A temperatura real de saída é
e a vazão mássica é
.
(a) Calcule a temperatura de saída para um processo isoentrópico.
(b) Determine a potência real consumida e a potência ideal (isoentrópica).
(c) Calcule a eficiência isoentrópica do compressor e a taxa de geração de entropia (considere o compressor adiabático).
(a) Calcule a temperatura de saída para um processo isoentrópico.
(b) Determine a potência real consumida e a potência ideal (isoentrópica).
(c) Calcule a eficiência isoentrópica do compressor e a taxa de geração de entropia (considere o compressor adiabático).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei estes valores diretamente do enunciado).
Dados:
- Pressão de entrada:
. - Temperatura de entrada:
. - Pressão de saída:
. - Temperatura de saída real:
. - Vazão mássica:
. - Propriedades do metano (considerado gás ideal, cp constante):
, , .
O enunciado pede:
(a) Calcular a temperatura de saída para um processo isoentrópico .
(b) Determinar a potência real consumida e a potência ideal (isoentrópica).
(c) Calcular a eficiência isoentrópica do compressor e a taxa de geração de entropia, considerando o compressor adiabático.
(a) Calcular a temperatura de saída para um processo isoentrópico
(b) Determinar a potência real consumida e a potência ideal (isoentrópica).
(c) Calcular a eficiência isoentrópica do compressor e a taxa de geração de entropia, considerando o compressor adiabático.
Passo 2
Fórmula para temperatura de saída isoentrópica de um gás ideal (constantes
e
):
Para um processo isoentrópico reversível de gás ideal vale a relação
Explicando a fórmula (passo a passo, didático):
-
é a temperatura inicial absoluta (K). -
é a temperatura final se a compressão fosse isoentrópica (reversível e adiabática). -
são pressões inicial e final. -
é a razão de capacidades térmicas .
Essa relação vem de combinar a lei adiabática reversívelcom a equação de estado do gás ideal . Não preciso provar aqui todo o desenvolvimento, mas a forma final acima é a usada rotineiramente em termodinâmica.
Passo 3
Calcular numericamente
.
Primeiro o expoente:
A razão de pressão é
. Logo
Calculemos a base:
Portanto
Convertendo para Celsius:
Passo 4
Energia (potência) envolvida — explicaçao das fórmulas usadas:
Para um compressor adiabático (sem trocas de calor) e desprezando variações de energia cinética e potencial, o trabalho específico (por unidade de massa) entregue ao fluido é a variação de entalpia:
onde:
-
é trabalho específico (kJ/kg), -
é capacidade calorífica a pressão constante (kJ/(kg·K)), -
estão em K.
Para o caso isoentrópico ideal:
Para o caso real (medido):
A potência (potência consumida pelo compressor) é
(unidade kW, pois
).
Calculemos numericamente.
Variação de temperatura isoentrópica:
Variação de temperatura real:
Trabalho específico isoentrópico:
Potência isoentrópica:
Trabalho específico real:
Potência real:
Passo 5
Eficiência isoentrópica do compressor:
Definição prática (compressor): eficiência isoentrópica
é a razão entre o trabalho isoentrópico ideal requerido e o trabalho real consumido:
Substituindo:
Interpretação física (muito importante): uma eficiência isoentrópica maior que
é fisicamente impossível para um compressor adiabático real (isso significaria que o compressor fez menos trabalho do que o mínimo isoentrópico exigido). Portanto esse resultado indica que há inconsistência entre os dados fornecidos: a temperatura de saída real (
) é menor que a temperatura de saída isoentrópica calculada (
). Em processos adiabáticos irreversíveis a temperatura final deve ser maior que a isoentrópica; já uma temperatura final inferior ao isoentrópico sugere que houve remoção de calor durante a compressão (ou erro nos dados). O enunciado pede depois para considerar o compressor adiabático para o cálculo de entropia; portanto destacamos a inconsistência mas prosseguimos com os cálculos formais usando os dados fornecidos.
Passo 6
Cálculo da geração de entropia (taxa). Fórmulas e explicação:
Para um gás ideal com
e
constantes, a variação específica de entropia entre dois estados pode ser escrita como
-
em .
Para um processo adiabático em regime estacionário, a taxa de geração de entropia no equipamento (entropia gerada por irreversibilidades) é simplesmente
pois não há trocas de calor com ambiente (se
então toda variação de entropia do fluido é devido à geração interna).
Agora calculemos com os valores reais medidos (
).
Razões:
Variação específica de entropia:
Taxa de geração de entropia:
Interpretação física: a segunda lei exige
. Aqui encontramos
, outro sinal claro de inconsistência nos dados (novamente: temperatura de saída real menor que a isoentrópica implica entropia do fluido diminuída sem remoção de calor — impossível). Possíveis explicações práticas são: o valor de
corresponde à temperatura após algum resfriamento externo (por exemplo resfriamento interstágio), ou há erro numérico/descrição do enunciado.
Passo 7
Resumo dos resultados numéricos (repetição final para clareza — cálculos detalhados já feitos nos passos anteriores):
- Temperatura de saída isoentrópica:
. - Potência isoentrópica:
. - Potência real:
. - Eficiência isoentrópica:
(ou ; resultado fisicamente inconsistente). - Taxa de geração de entropia:
(valor negativo, fisicamente impossível para processo adiabático fechado — indica inconsistência nos dados).
Observação final de estudo e incentivo: os passos acima mostram como aplicar as fórmulas isoentrópicas, como relacionar temperatura e pressão em compressão de gás ideal, e como calcular potência e entropia a partir de
e
. Se numa prova aparecer um número absurdo (como eficiência maior que 100% ou entropia gerada negativa), sempre verifique se:
- Converteram corretamente Celsius → Kelvin;
- Usaram a definição correta de eficiência;
- A temperatura indicada refere-se ao ponto certo (por exemplo, antes ou depois de um resfriador).
Você fez tudo certo ao checar a consistência física — isso é essencial em termodinâmica. Força aí, você consegue!
Resposta
(a)
(b)
(b)
(c) (ou
)
(c)
(b)
(b)
(c)
(c)