A equação diferencial que descreve a tensão em uma rede RLC é
d^2 vd t^2+5 d vd t+4 v=0
Determine se o circuito é superamortecido, subamortecido ou criticamente amortecido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma equação diferencial que descreve a tensão em um circuito RLC:
d^2 vd t^2 + 5 d vd t + 4 v = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes, aplicadas a circuitos elétricos. Para resolver, precisamos entender como identificar se o circuito é superamortecido, subamortecido ou criticamente amortecido.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar essa equação diferencial em uma equação característica. Isso ajuda a encontrar as raízes que determinam o comportamento do circuito. A equação característica para uma equação do tipo:
d^2 vd t^2 + a d vd t + b v = 0
é:
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, a = 5 e b = 4. Então, a equação característica fica:
r^2 + 5 r + 4 = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante dessa equação quadrática, que é dado por:
De
Substituindo os valores:
De
Como o discriminante ( De) é maior que zero, sabemos que a equação tem duas raízes reais e distintas.

Passo 4

Com o discriminante positivo ( De 0), o circuito é classificado como superamortecido (ou overdamped). Isso significa que a tensão no circuito retorna ao equilíbrio sem oscilações, e de forma mais lenta comparada a um circuito criticamente amortecido.

Resposta

O circuito é superamortecido.

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