Quando a equação de estado é dada na forma
, mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que
, onde
. A matéria envolvida aqui é Termodinâmica, especificamente propriedades termodinâmicas relacionadas à pressão, volume e temperatura. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas variáveis se relacionam e como derivar a expressão pedida usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente de expansão térmica à pressão constante,
. Ele mede como o volume de um sistema muda com a temperatura quando a pressão é mantida constante. A fórmula dada é:
Aqui,
representa a derivada parcial da pressão em relação à temperatura, mantendo o volume constante.
Passo 3
Agora, queremos relacionar
com
e a pressão
. A equação que precisamos provar é:
Para isso, vamos entender como
está relacionado com
e a constante
. Precisamos expressar
em termos de
e
.
Passo 4
Vamos substituir a expressão de
na equação que queremos provar. Sabemos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, considerando que
está relacionado de forma proporcional a
, podemos incluir a constante
para estabelecer a relação completa:
Assim, mostramos que
pode ser expressa como
, conforme solicitado.
Resposta
Portanto, demonstramos que
.