Quando a equação de estado é dada na forma p=p(V, T), mostre que:
beta=p alphap K onde: [alphaP=1p(partial ppartial T)V]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que , onde . A matéria envolvida aqui é Termodinâmica, especificamente propriedades termodinâmicas relacionadas à pressão, volume e temperatura. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas variáveis se relacionam e como derivar a expressão pedida usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente de expansão térmica à pressão constante, alphap = 1p(partial ppartial T)V . Ele mede como o volume de um sistema muda com a temperatura quando a pressão é mantida constante. A fórmula dada é:
Aqui, representa a derivada parcial da pressão em relação à temperatura, mantendo o volume constante.

Passo 3

Agora, queremos relacionar beta = p alphap K com e a pressão . A equação que precisamos provar é:
Para isso, vamos entender como está relacionado com e a constante . Precisamos expressar em termos de e .

Passo 4

Vamos substituir a expressão de alphap = 1p(partial ppartial T)V na equação que queremos provar. Sabemos que:
p alphap = (partial ppartial T)V
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora, considerando que beta = p alphap K está relacionado de forma proporcional a , podemos incluir a constante para estabelecer a relação completa:
Assim, mostramos que pode ser expressa como , conforme solicitado.

Resposta

Portanto, demonstramos que .

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