Para a equação de estado P=R Tv-b, onde onde b é uma função apenas das espécies envolvidas, de acordo com a seguinte regra de mistura b=sumi yi bi, determine as expressões para ln varphii, fi, ln varphii e fi. Lembrando que ln varphii=integral0^P vi-R TP d P e ln varphii=integral0^P barVi-R TP d P.
Resposta ln varphii=bi P / R T e ln varphii=barBi P / R T=bi P / R T

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre equações de estado na termodinâmica. A gente vai lidar com a equação P = R Tv - b, onde b depende das espécies envolvidas e é dada pela regra de mistura b = sumi yi bi. Nosso objetivo é encontrar as expressões para ln varphii, fi, ln varphii e fi. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coeficientes de fugacidade e como eles se relacionam com a equação de estado.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em ln varphii. A definição que temos é:
ln varphii = integral0^P ( vi - R TP ) dP
Aqui, varphii é o coeficiente de fugacidade para a espécie i, vi é o volume molar da espécie i, R é a constante dos gases, T é a temperatura e P é a pressão.

Passo 3

Agora, vamos substituir a equação de estado P = R Tv - b na expressão acima. Resolvendo para v, temos:
v = R TP + b
Substituindo na integral:
ln varphii = integral0^P ( R TP + bi - R TP ) dP
Aqui, assumimos que vi = bi, já que b é a soma ponderada dos bi.

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
ln varphii = integral0^P bi , dP
Como bi é constante em relação a P, a integral fica simples de resolver.

Passo 5

Integrando:
ln varphii = bi integral0^P dP = bi P
Mas precisamos considerar as unidades e constantes, então ajustamos para incluir 1R T:
ln varphii = bi PR T

Passo 6

Agora, vamos para ln varphii. A definição dada é:
ln varphii = integral0^P ( barVi - R TP ) dP
Aqui, barVi é o volume molar médio da mistura.

Passo 7

Sabemos que barV = sum yi barVi e que, seguindo a regra de mistura para b, temos barBi = sum yi bi. Substituindo na integral:
ln varphii = integral0^P ( R TP + barBi - R TP ) dP

Passo 8

Simplificando novamente:
ln varphii = integral0^P barBi , dP
E integrando:
ln varphii = barBi PR T = bi PR T
Porque barBi = bi conforme a regra de mistura.

Resposta

ln varphii = bi PR T e ln varphii = barBi PR T = bi PR T

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