Questão 2 (Valor: 11,0 pontos):

Um tanque rigido com volume 6 \mathrm{~m}^{3} contém ar inicialmente a 1 bar e 300 K . O tanque é conectado por meio de uma válvula a uma tubulaçäo na qual ar escoa a 5 bar e 300 K . A valvula é aberta apenas o tempo necessário para encher o tanque até uma pressïo de 5 bar e temperatura de 350 K . Admitindo o modelo de gás ideal para o ar, determine:
a) A massa inicial de ar no tanque:
b) A massa final de ar no tanque;
c) A transferéncia de calor entre os conteúdos do tanque e sua vizinhança

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegar estes valores do enunciado):
  • Volume do tanque: \;V=6\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Estado inicial do ar no tanque: \;P_{1}=1\\ \mathrm{bar}=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, \;T_{1}=300\\ \mathrm{K}.
  • Estado externo (linha) do ar que abastece: \;P_{\text{linha}}=5\\ \mathrm{bar}=5{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, \;T_{\text{linha}}=300\\ \mathrm{K}.
  • Estado final do ar no tanque após abertura da válvula: \;P_{2}=5\\ \mathrm{bar}=5{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, \;T_{2}=350\\ \mathrm{K}.
  • Modelo: ar como gás ideal, propriedades constantes aproximadas: \;R=287\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}, \;c_{p}=1005\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}, \;c_{v}=c_{p}-R=718\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}.
O enunciado pede:
(a) A massa inicial de ar no tanque.
(b) A massa final de ar no tanque.
(c) A transferência de calor entre o conteúdo do tanque e a vizinhança (valor numérico e interpretação do sinal).

Passo 2

Calcular a massa inicial usando a equação dos gases ideais. Vou explicar a fórmula e cada variável.
Fórmula (equação dos gases ideais, aplicada ao conteúdo do tanque):
m=\frac{P\,V}{R\,T},
onde
  • m é a massa de gás no tanque (em \mathrm{kg}),
  • P é a pressão absoluta (em \mathrm{Pa}),
  • V é o volume (em \mathrm{m^{3}}),
  • R é a constante específica do gás (para o ar \;R=287\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
Aplicando para o estado inicial ( P_1,V,T_1):
m_{1}=\frac{P_{1}\,V}{R\,T_{1}}=\frac{1{,}0\times10^{5}\cdot 6}{287\cdot 300}.
Agora faço a conta passo a passo:
287\cdot 300=86100,
\frac{1{,}0\times10^{5}\cdot 6}{86100}=\frac{600000}{86100}\approx 6{,}97\\ \mathrm{kg}.
Portanto a massa inicial é \;m_{1}\approx 6{,}97\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Calcular a massa final com a mesma fórmula, usando P_{2} e T_{2}.
m_{2}=\frac{P_{2}\,V}{R\,T_{2}}=\frac{5{,}0\times10^{5}\cdot 6}{287\cdot 350}.
Cálculo passo a passo:
287\cdot 350=100450,
\frac{5{,}0\times10^{5}\cdot 6}{100450}=\frac{3000000}{100450}\approx 29{,}87\\ \mathrm{kg}.
Portanto a massa final é \;m_{2}\approx 29{,}87\\ \mathrm{kg}.
Observação rápida: a massa adicionada é \;m_{in}=m_{2}-m_{1}\approx 22{,}90\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Determinar a transferência de calor Q. Vou explicar a equação de balanço de energia que se aplica aqui e justificar as simplificações.
Quando o tanque é alimentado por ar vindo da linha, temos um problema de energia para um volume de controle que engloba o interior do tanque (há entrada de massa e variação de energia interna). A forma integrada do primeiro princípio para o volume de controle, desprezando energia cinética e potencial, e considerando que não há trabalho de eixo e que não há saída de massa, é:
E_{2}-E_{1}=Q + \sum_{\text{in}} m_{\text{in}}\,h_{\text{in}},
onde
  • E é a energia total dentro do volume de controle; aqui, desprezando ke/pe, E=m\,u (massa vezes energia interna específica),
  • Q é o calor transferido para o interior do tanque (positivo se entra no tanque),
  • m_{\text{in}} e h_{\text{in}} são a massa que entrou e a entalpia específica do fluido que entrou.
Como não há saída de massa e não há trabalho de eixo nem trabalho de fronteira (tanque rígido, volume constante), a equação se reduz a:
m_{2}u_{2}-m_{1}u_{1}=Q + (m_{2}-m_{1})\,h_{\text{in}}.
Isolando Q:
Q = m_{2}u_{2}-m_{1}u_{1} - (m_{2}-m_{1})\,h_{\text{in}}.
Agora vamos explicar as propriedades específicas usadas:
  • Para gás ideal com capacidades térmicas constantes aproximadas:
u=c_{v}\,T,\qquad h=c_{p}\,T,
onde u é energia interna específica, h é entalpia específica, c_{v} e c_{p} são as capacidades térmicas molares a volume e pressão constantes; aqui aproximamos c_{p}=1005\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}} e c_{v}=718\\ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}.
No problema, o ar que entra vem da linha com temperatura \;T_{\text{linha}}=300\\ \mathrm{K}, então \;h_{\text{in}}=c_{p}\,T_{\text{linha}}.

Passo 5

Substituir números na fórmula de Q e calcular passo a passo.
Calcular as energias internas específicas:
u_{1}=c_{v}T_{1}=718\cdot 300=215400\\ \mathrm{J\,kg^{-1}},
u_{2}=c_{v}T_{2}=718\cdot 350=251300\\ \mathrm{J\,kg^{-1}}.
Entalpia do ar que entrou:
h_{\text{in}}=c_{p}T_{\text{linha}}=1005\cdot 300=301500\\ \mathrm{J\,kg^{-1}}.
Já calculamos as massas:
m_{1}\approx 6{,}97\\ \mathrm{kg},\qquad m_{2}\approx 29{,}87\\ \mathrm{kg}.
Agora calcule cada termo do balanço:
m_{2}u_{2}\approx 29{,}87\cdot 251300 \approx 7{,}505{,}225\\ \mathrm{J},
m_{1}u_{1}\approx 6{,}97\cdot 215400 \approx 1{,}501{,}177\\ \mathrm{J},
(m_{2}-m_{1})\,h_{\text{in}}\approx (29{,}87-6{,}97)\cdot 301500 \approx 22{,}90\cdot 301500 \approx 6{,}903{,}249\\ \mathrm{J}.
Substituindo na expressão de Q:
Q = 7{,}505{,}225 - 1{,}501{,}177 - 6{,}903{,}249 \approx -899{,}201\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma conveniente:
Q \approx -8{,}99\times 10^{5}\\ \mathrm{J} \quad\text{(ou)}\quad Q\approx -899\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Interpretação e comentários finais (breve e prático):
  • O sinal negativo de Q significa que, durante o enchimento, houve perda líquida de calor do conteúdo do tanque para a vizinhança (isto é, o tanque cede calor ao ambiente).
  • Fatores importantes que justificam o resultado: o ar que entra traz entalpia (inclui energia interna mais o trabalho de fluxo) e a pressão do tanque sobe até 5 bar; o aquecimento interno até 350 K e a energia que entra pelo escoamento combinam de tal forma que o balanço pede uma perda líquida de calor para a vizinhança conforme calculado.
  • Principais hipóteses feitas: ar ideal, capacidades térmicas constantes (valores típicos), desprezo de energia cinética e potencial, ausência de trabalho de eixo e mistura instantânea homogênea dentro do tanque.

Resposta

(a) m_{1}\approx 6{,}97\\ \mathrm{kg}
(b) m_{2}\approx 29{,}87\\ \mathrm{kg}
(c) Q\approx -8{,}99\times10^{5}\\ \mathrm{J} (ou Q\approx -899\\ \mathrm{kJ})

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