Questão 2 (Valor: 11,0 pontos):
Um tanque rigido com volume
contém ar inicialmente a 1 bar e 300 K . O tanque é conectado por meio de uma válvula a uma tubulaçäo na qual ar escoa a 5 bar e 300 K . A valvula é aberta apenas o tempo necessário para encher o tanque até uma pressïo de 5 bar e temperatura de 350 K . Admitindo o modelo de gás ideal para o ar, determine:
a) A massa inicial de ar no tanque:
b) A massa final de ar no tanque;
c) A transferéncia de calor entre os conteúdos do tanque e sua vizinhança
a) A massa inicial de ar no tanque:
b) A massa final de ar no tanque;
c) A transferéncia de calor entre os conteúdos do tanque e sua vizinhança
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegar estes valores do enunciado):
- Volume do tanque:
. - Estado inicial do ar no tanque:
, . - Estado externo (linha) do ar que abastece:
, . - Estado final do ar no tanque após abertura da válvula:
, . - Modelo: ar como gás ideal, propriedades constantes aproximadas:
, , .
O enunciado pede:
(a) A massa inicial de ar no tanque.
(b) A massa final de ar no tanque.
(c) A transferência de calor entre o conteúdo do tanque e a vizinhança (valor numérico e interpretação do sinal).
(a) A massa inicial de ar no tanque.
(b) A massa final de ar no tanque.
(c) A transferência de calor entre o conteúdo do tanque e a vizinhança (valor numérico e interpretação do sinal).
Passo 2
Calcular a massa inicial usando a equação dos gases ideais. Vou explicar a fórmula e cada variável.
Fórmula (equação dos gases ideais, aplicada ao conteúdo do tanque):
onde
-
é a massa de gás no tanque (em ), -
é a pressão absoluta (em ), -
é o volume (em ), -
é a constante específica do gás (para o ar ), -
é a temperatura absoluta (em ).
Aplicando para o estado inicial (
):
Agora faço a conta passo a passo:
Portanto a massa inicial é
.
Passo 3
Calcular a massa final com a mesma fórmula, usando
e
.
Cálculo passo a passo:
Portanto a massa final é
.
Observação rápida: a massa adicionada é
.
Passo 4
Determinar a transferência de calor
. Vou explicar a equação de balanço de energia que se aplica aqui e justificar as simplificações.
Quando o tanque é alimentado por ar vindo da linha, temos um problema de energia para um volume de controle que engloba o interior do tanque (há entrada de massa e variação de energia interna). A forma integrada do primeiro princípio para o volume de controle, desprezando energia cinética e potencial, e considerando que não há trabalho de eixo e que não há saída de massa, é:
onde
-
é a energia total dentro do volume de controle; aqui, desprezando ke/pe, (massa vezes energia interna específica), -
é o calor transferido para o interior do tanque (positivo se entra no tanque), -
e são a massa que entrou e a entalpia específica do fluido que entrou.
Como não há saída de massa e não há trabalho de eixo nem trabalho de fronteira (tanque rígido, volume constante), a equação se reduz a:
Isolando
:
Agora vamos explicar as propriedades específicas usadas:
- Para gás ideal com capacidades térmicas constantes aproximadas:
onde
é energia interna específica,
é entalpia específica,
e
são as capacidades térmicas molares a volume e pressão constantes; aqui aproximamos
e
.
No problema, o ar que entra vem da linha com temperatura
, então
.
Passo 5
Substituir números na fórmula de
e calcular passo a passo.
Calcular as energias internas específicas:
Entalpia do ar que entrou:
Já calculamos as massas:
Agora calcule cada termo do balanço:
Substituindo na expressão de
:
Arredondando de forma conveniente:
Passo 6
Interpretação e comentários finais (breve e prático):
- O sinal negativo de
significa que, durante o enchimento, houve perda líquida de calor do conteúdo do tanque para a vizinhança (isto é, o tanque cede calor ao ambiente). - Fatores importantes que justificam o resultado: o ar que entra traz entalpia (inclui energia interna mais o trabalho de fluxo) e a pressão do tanque sobe até 5 bar; o aquecimento interno até 350 K e a energia que entra pelo escoamento combinam de tal forma que o balanço pede uma perda líquida de calor para a vizinhança conforme calculado.
- Principais hipóteses feitas: ar ideal, capacidades térmicas constantes (valores típicos), desprezo de energia cinética e potencial, ausência de trabalho de eixo e mistura instantânea homogênea dentro do tanque.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(ou
)