Esboce o LGR do sistema com realimentação unitária, cuja FTRD vale:
a) Em qual faixa de valores de K o sistema é estável? R.:
b) Para qual valor de K o sistema é marginalmente estável? R.: K=inf
b) Para qual valor de K o sistema é marginalmente estável? R.: K=inf
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência em malha aberta e pede para esboçar o Lugar das Raízes (LGR) em realimentação unitária e determinar estabilidade em função de
. Informações fornecidas:
- Função de malha aberta:
- Realimentação unitária (block:
em série com ganho , realimentação negativa unitária).
O enunciado pergunta:
a) Em qual faixa de valores deo sistema em malha fechada é estável?
b) Para qual valor deo sistema é marginalmente estável?
Passo 2
Identificar polos e zeros de
(esses são os pontos de partida/fim do LGR).
- Polos de malha aberta (denominador
): . - Zeros de malha aberta (raízes de
): (ou seja, ).
Observação: esses valores dos polos e zeros foram obtidos diretamente da expressão de.
Passo 3
Escrever a equação característica do sistema em malha fechada (unidade):
Substituindo
:
Multiplicando por
obtemos o polinômio característico:
Passo 4
Expandir e organizar o polinômio característico em potências de
.
Calcule:
Calcule:
Então
Agrupando termos:
Este é o polinômio característico em malha fechada. Para cada
real (exceto
que zera o coeficiente de
), as raízes deste polinômio são os polos de malha fechada.
Passo 5
Determinar as condições de estabilidade usando critérios simples para polinômio de segunda ordem.
Para um polinômio de segunda ordem
Para um polinômio de segunda ordem
com coeficientes reais, uma condição suficiente e necessária para que ambos os polos tenham parte real negativa (sistema assintoticamente estável) é que todos os coeficientes sejam positivos quando o coeficiente líder
for positivo. No nosso caso:
-
para todo . - Para
precisamos de . - Para
precisamos de .
Como
implica automaticamente
, a condição que garante ambos os coeficientes positivos é
Portanto, para qualquer
o polinômio tem todos os coeficientes positivos (com
) e o sistema em malha fechada é assintoticamente estável.
Nota sobre
: nesse caso
e o polinômio perde ordem, reduzindo-se a
(pois
quando
), que tem raiz
(estável). Para
o sinal de
é negativo e ao multiplicar por
o coeficiente de
fica negativo (instabilidade). Logo a região de estabilidade no eixo real completo é
.
Passo 6
Interpretar no contexto do LGR (ganho positivo).
Na prática de LGR costuma-se variar . Assim, restringindo à faixa usual
, nota-se que:
Na prática de LGR costuma-se variar
-
satisfaz , logo para todo o sistema em malha fechada é assintoticamente estável. - Examine o comportamento quando
: o polinômio característico dividido por tende para
cuja raízes são exatamente os zeros
. Assim, quando
cresce sem limite, os polos de malha fechada tendem para
(e passam a ter parte real próxima de zero). Portanto, na fronteira
os polos aproximam-se do eixo imaginário e, no limite, ficam puramente imaginários — isto é característico de estabilidade marginal no limite
.
Passo 7
Verificação de cruzamento do eixo imaginário para algum
finito.
Procuramos soluções do polinômio característico para algum
real. Substituindo
em
Procuramos soluções
tem-se, separando parte real e imaginária,
- parte imaginária:
. - parte real com
: .
Isso mostra um vetor de cruzamento emapenas para (um ganho negativo). Não há cruzamento do eixo imaginário para nenhum . Portanto, para todo os polos permanecem no semiplano esquerdo, aproximando-se do eixo imaginário apenas quando .
Passo 8
Descrição do esboço do LGR (para ajudar a visualizar):
- Dois ramos do LGR partem dos polos em
e . - Cada ramo vai para um zero finito: um vai para
e o outro para quando . - Não há polos ou zeros no semiplano direito, não há assimptotas de infinito (número de polos = número de zeros = 2).
- Para
os ramos deslocam-se da esquerda para os zeros imaginários, mantendo-se no semiplano esquerdo para todo finito; assim o sistema é assintoticamente estável para todos os . No limite os polos tendem a , gerando estabilidade marginal no limite.
Resposta
a)
(mais geralmente, para qualquer
o sistema em malha fechada é assintoticamente estável).
b) Marginalmente estável no limite (os polos tendem a
).
b) Marginalmente estável no limite