Esboce o LGR do sistema com realimentação unitária, cuja FTRD vale:
G(s)=\frac{K\left(s^{2}+2\right)}{(s+3)(s+4)}
a) Em qual faixa de valores de K o sistema é estável? R.: \mathrm{K}<\inf
b) Para qual valor de K o sistema é marginalmente estável? R.: K=inf

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência em malha aberta e pede para esboçar o Lugar das Raízes (LGR) em realimentação unitária e determinar estabilidade em função de K. Informações fornecidas:
  • Função de malha aberta:
G(s)=\frac{K\left(s^{2}+2\right)}{(s+3)(s+4)}
  • Realimentação unitária (block: G(s) em série com ganho K, realimentação negativa unitária).
    O enunciado pergunta:
    a) Em qual faixa de valores de K o sistema em malha fechada é estável?
    b) Para qual valor de K o sistema é marginalmente estável?

Passo 2

Identificar polos e zeros de G(s) (esses são os pontos de partida/fim do LGR).
  • Polos de malha aberta (denominador (s+3)(s+4)): \;s=-3,\;s=-4.
  • Zeros de malha aberta (raízes de s^{2}+2=0): \;s=\pm j\sqrt{2} (ou seja, \pm j\,1{,}4142).
    Observação: esses valores dos polos e zeros foram obtidos diretamente da expressão de G(s).

Passo 3

Escrever a equação característica do sistema em malha fechada (unidade):
1+G(s)=0.
Substituindo G(s):
1+\frac{K(s^{2}+2)}{(s+3)(s+4)}=0.
Multiplicando por (s+3)(s+4) obtemos o polinômio característico:
(s+3)(s+4)+K(s^{2}+2)=0.

Passo 4

Expandir e organizar o polinômio característico em potências de s.
Calcule:
(s+3)(s+4)=s^{2}+7s+12.
Então
s^{2}+7s+12+K(s^{2}+2)=0.
Agrupando termos:
(1+K)s^{2}+7s+(12+2K)=0.
Este é o polinômio característico em malha fechada. Para cada K real (exceto K=-1 que zera o coeficiente de s^{2}), as raízes deste polinômio são os polos de malha fechada.

Passo 5

Determinar as condições de estabilidade usando critérios simples para polinômio de segunda ordem.
Para um polinômio de segunda ordem
a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0
com coeficientes reais, uma condição suficiente e necessária para que ambos os polos tenham parte real negativa (sistema assintoticamente estável) é que todos os coeficientes sejam positivos quando o coeficiente líder a_{2} for positivo. No nosso caso:
a_{2}=1+K,\qquad a_{1}=7,\qquad a_{0}=12+2K.
  • a_{1}=7>0 para todo K.
  • Para a_{2}>0 precisamos de 1+K>0\Rightarrow K>-1.
  • Para a_{0}>0 precisamos de 12+2K>0\Rightarrow K>-6.
Como K>-1 implica automaticamente K>-6, a condição que garante ambos os coeficientes positivos é
K>-1.
Portanto, para qualquer K>-1 o polinômio tem todos os coeficientes positivos (com a_{2}>0) e o sistema em malha fechada é assintoticamente estável.
Nota sobre K=-1: nesse caso a_{2}=0 e o polinômio perde ordem, reduzindo-se a 7s+10=0 (pois 12+2K=10 quando K=-1), que tem raiz s=-10/7 (estável). Para K<-1 o sinal de a_{2} é negativo e ao multiplicar por -1 o coeficiente de s fica negativo (instabilidade). Logo a região de estabilidade no eixo real completo é K>-1.

Passo 6

Interpretar no contexto do LGR (ganho positivo).
Na prática de LGR costuma-se variar K\ge 0. Assim, restringindo à faixa usual K\ge 0, nota-se que:
  • K\ge 0 satisfaz K>-1, logo para todo K\ge 0 o sistema em malha fechada é assintoticamente estável.
  • Examine o comportamento quando K\to\infty: o polinômio característico dividido por K tende para
s^{2}+2=0,
cuja raízes são exatamente os zeros \pm j\sqrt{2}. Assim, quando K cresce sem limite, os polos de malha fechada tendem para \pm j\sqrt{2} (e passam a ter parte real próxima de zero). Portanto, na fronteira K\to\infty os polos aproximam-se do eixo imaginário e, no limite, ficam puramente imaginários — isto é característico de estabilidade marginal no limite K\to\infty.

Passo 7

Verificação de cruzamento do eixo imaginário para algum K finito.
Procuramos soluções s=j\omega do polinômio característico para algum K real. Substituindo s=j\omega em
(1+K)s^{2}+7s+(12+2K)=0
tem-se, separando parte real e imaginária,
  • parte imaginária: 7\omega=0\Rightarrow \omega=0.
  • parte real com \omega=0: 12+2K=0\Rightarrow K=-6.
    Isso mostra um vetor de cruzamento em s=0 apenas para K=-6 (um ganho negativo). Não há cruzamento do eixo imaginário para nenhum K\ge 0. Portanto, para todo K\ge 0 os polos permanecem no semiplano esquerdo, aproximando-se do eixo imaginário apenas quando K\to\infty.

Passo 8

Descrição do esboço do LGR (para ajudar a visualizar):
  • Dois ramos do LGR partem dos polos em s=-3 e s=-4.
  • Cada ramo vai para um zero finito: um vai para j\sqrt{2} e o outro para -j\sqrt{2} quando K\to\infty.
  • Não há polos ou zeros no semiplano direito, não há assimptotas de infinito (número de polos = número de zeros = 2).
  • Para K\ge 0 os ramos deslocam-se da esquerda para os zeros imaginários, mantendo-se no semiplano esquerdo para todo K finito; assim o sistema é assintoticamente estável para todos os K\ge 0. No limite K\to\infty os polos tendem a \pm j\sqrt{2}, gerando estabilidade marginal no limite.

Resposta

a) K\ge 0 (mais geralmente, para qualquer K>-1 o sistema em malha fechada é assintoticamente estável).
b) Marginalmente estável no limite K\to\infty (os polos tendem a s=\pm j\sqrt{2}).