Esboce os seguintes sinais (em que u(t) é a função degrau):
(t-4)[u(t-2)-u(t-4)]

Passo 1

O enunciado dá o sinal
(t-4)\bigl[u(t-2)-u(t-4)\bigr]
e pede que se esboce esse sinal. Informações relevantes que recebemos:
  • u(t) é a função degrau unitário.
  • Há um produto entre a expressão t-4 (uma reta) e a diferença de degraus u(t-2)-u(t-4).
  • O objetivo prático é desenhar (esboçar) como x(t)=(t-4)[u(t-2)-u(t-4)] varia em função de t.

Passo 2

Entendendo a função degrau u(t) (aula rápida, sem medo):
  • Por definição usual, u(t)=0 para t<0 e u(t)=1 para t>0. O valor em t=0 varia por convenção (às vezes u(0)=1 ou u(0)=\tfrac{1}{2}), mas isso afeta só um ponto isolado — para esboço típico não faz diferença.
  • Uma propriedade importante: u(t-a) é o degrau deslocado para a direita em t=a. Ou seja, u(t-a)=0 para t<a e =1 para t>a.
  • A diferença u(t-2)-u(t-4) cria uma “janela” que é 1 somente entre t=2 e t=4 e 0 fora desse intervalo (novamente, o valor exato nos pontos t=2 ou t=4 depende da convenção, mas só mudam pontos isolados).

Passo 3

Determinar onde a janela vale 1 e onde vale 0:
  • Para t<2: u(t-2)=0 e u(t-4)=0 logo u(t-2)-u(t-4)=0.
  • Para 2\le t<4: u(t-2)=1 e u(t-4)=0 logo u(t-2)-u(t-4)=1.
  • Para t\ge 4: u(t-2)=1 e u(t-4)=1 logo u(t-2)-u(t-4)=0.
    Portanto a janela é ativa apenas para t entre 2 e 4.

Passo 4

Aplicar essa janela ao fator (t-4). Quando a janela é 1 o sinal vale (t-4); quando a janela é 0 o sinal vale 0. Assim obtemos a forma por partes:
x(t)= (t-4)\bigl[u(t-2)-u(t-4)\bigr]= \begin{cases} 0, & t<2,\\[4pt] t-4, & 2\le t<4,\\[4pt] 0, & t\ge 4. \end{cases}]

Passo 5

Calcular pontos-chave para esboçar:
  • Em t=2: x(2)=2-4=-2. Então o segmento começa em (2,-2).
  • Em t=4: x(4)=4-4=0. O segmento termina em (4,0).
  • A inclinação do segmento entre 2 e 4 é 1 porque a função é x(t)=t-4 (reta com coeficiente angular 1).
  • Para t<2 e t>4 o valor é 0. Observação: o valor em exatamente t=2 ou t=4 depende da convenção de u(0), mas para esboço prático:
    • À esquerda de t=2 o sinal está em 0; à direita em -2. Então há uma descontinuidade em t=2.
    • Em t=4 o limite lateral esquerdo é 0 e o valor à direita também é 0, então é contínuo em t=4.

Passo 6

Como esboçar passo a passo (pra fazer rápido na prova):
  1. Desenhe eixos de t (horizontal) e x(t) (vertical).
  2. Marque os instantes \,t=2 e \,t=4 no eixo do tempo.
  3. Para t<2 desenhe a linha horizontal x(t)=0.
  4. Entre \,t=2 e \,t=4 desenhe o segmento de reta que vai de (2,-2) a (4,0). Essa reta tem inclinação 1.
  5. Para t>4 desenhe novamente a linha horizontal x(t)=0.
  6. Indique (se quiser) pontos fechados/abertos nos extremos conforme a convenção; normalmente coloca-se um ponto sólido em (2,-2) e em (4,0) porque a expressão t-4 é válida nesses pontos no caso usual u(0)=1, mas isto é detalhe de um ponto.

Passo 7

Interpretação física/visual rápida e dica para prova:
  • Esse sinal é uma reta inclinada (rampa com slope 1) “janela” entre 2 e 4, e zero fora. Sempre que vir um produto de algo dependente de t por u(t-a)-u(t-b), pense: “desliga fora do intervalo [a,b), liga dentro e desenha a forma da função original apenas nesse intervalo”.
  • Dica: compute sempre os valores nos limites do intervalo (aqui t=2 e t=4) e a inclinação; com isso o esboço sai rapidinho.

Resposta

(t-4)\bigl[u(t-2)-u(t-4)\bigr]= \begin{cases} 0, & t<2,\\[4pt] t-4, & 2\le t<4,\\[4pt] 0, & t\ge 4. \end{cases}]