Escreva a equação de condução do calor, unidimensional da temperatura, e geração de calor, no sistema de coordenadas.

Passo 1

O enunciado pede a equação diferencial que descreve a condução de calor unidimensional com geração interna de calor. O conteúdo é a aplicação da conservação de energia (primeira lei da termodinâmica) em um elemento diferencial, junto com a lei de Fourier para condução.

Passo 2

Considere um elemento diferencial de espessura \mathrm{d}x e área transversal A(x). A conservação de energia exige que a taxa de variação de energia interna no volume seja igual à soma da geração interna de calor e do fluxo de calor condutivo que entra e sai:
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t}\,A\,\mathrm{d}x = \dot{q}'''\,A\,\mathrm{d}x + \bigl[\dot{Q}_x - \dot{Q}_{x+\mathrm{d}x}\bigr].
Pela lei de Fourier, o fluxo condutivo em x é
\dot{Q}_x = -\,k\,A(x)\,\frac{\partial T}{\partial x}\Big|_{x}.

Passo 3

Expandindo \dot{Q}_x - \dot{Q}_{x+\mathrm{d}x} em série de Taylor e dividindo por A\,\mathrm{d}x, obtém-se
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1}{A(x)}\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl[-\,k\,A(x)\,\frac{\partial T}{\partial x}\Bigr] + \dot{q}'''.
Para geometria unidimensional genérica usa-se A(x)\propto x^m, onde m=0 (cartesiano), m=1 (cilíndrico) ou m=2 (esférico).

Resposta

\rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1}{x^{m}}\;\frac{\partial}{\partial x} \!\Bigl(x^{m}\,k\,\frac{\partial T}{\partial x}\Bigr) + \dot{q}'''\!.

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