Considere uma parede cilíndrica com raio interno r_{1} e raio externo r_{2}. A superfície interna está aquecida uniformemente a uma razão q_{1} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, e a externa dissipa calor por convecção com um coeficiente de transferência de calor h_{2} \mathrm{~W} /(\mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}) para o ar ambiente à temperatura de zero grau. Escreva as condições de contorno nas fronteiras em r=r_{1} e r=r_{2}.

Passo 1

O enunciado trata da condução de calor estacionária em coordenadas cilíndricas numa parede cuja superfície interna em r=r_{1} recebe calor a fluxo constante q_{1} e cuja superfície externa em r=r_{2} dissipa calor por convecção para o ambiente à temperatura \,0\,^\circ\mathrm{C} com coeficiente h_{2}. Para resolver o problema precisamos impor as condições de contorno apropriadas: uma condição de fluxo prescrito (Neumann) em r=r_{1} e uma condição de convecção (Robin) em r=r_{2}.

Passo 2

Em r=r_{1} o fluxo de calor para dentro da parede é dado e igual a q_{1}. Usando a lei de Fourier em coordenadas cilíndricas
q_{r}=-k\,\frac{\partial T}{\partial r},
a condição de contorno Neumann em r=r_{1} escreve-se
-k\,\frac{\partial T}{\partial r}\Bigg|_{r=r_{1}} = q_{1}.

Passo 3

Em r=r_{2} o calor sai por convecção para o ar à temperatura ambiente T_{\infty}=0\,^\circ\mathrm{C}. A lei de Newton do resfriamento dá
q_{r}(r_{2}) = h_{2}\bigl[T(r_{2}) - T_{\infty}\bigr] = h_{2}\,T(r_{2}).
Igualando ao fluxo condutivo pela lei de Fourier, obtemos a condição de contorno Robin
-k\,\frac{\partial T}{\partial r}\Bigg|_{r=r_{2}} = h_{2}\,T(r_{2}).

Resposta

Em r=r_{1}:
-k\,\frac{\partial T}{\partial r}\Big|_{r_{1}} = q_{1}.
Em r=r_{2}:
-k\,\frac{\partial T}{\partial r}\Big|_{r_{2}} = h_{2}\,T(r_{2}).

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