Escreva a equação da 2^{\mathrm{a}} Lei da Termodinâmica completa para:
Um sistema fechado e irreversível.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos claramente:
  • Pede: escrever a equação completa da 2ª Lei da Termodinâmica para um sistema fechado e irreversível.
  • Informações implícitas que vou usar:
    • “Sistema fechado” significa que não há fluxo de massa através da fronteira do sistema (não entra/não sai massa).
    • “Irreversível” implica geração interna de entropia positiva devido a irreversibilidades (atrito, dissipação, gradientes de temperatura, etc.).
    • Considero que o sistema pode trocar calor com vários reservatórios (ou com várias partes da vizinhança) a temperaturas possivelmente diferentes. Cada troca de calor atravessa a fronteira em uma temperatura associada T_k.
  • O objetivo é escrever a equação de balanço de entropia (forma diferencial e/ou integral) com definição explícita dos termos.

Passo 2

Noções básicas e definições que vamos precisar (explicação didática):
  • Entropia do sistema: S_{\text{sys}} é uma função de estado do sistema (tem unidade de \mathrm{J\,K^{-1}}).
  • Troca de calor: \delta Q_k (ou \dot{Q}_k em forma de taxa) representa calor que entra no sistema através da fronteira por um mecanismo k. Convenção: \delta Q_k>0 quando calor entra no sistema.
  • Temperatura de troca: T_k é a temperatura na fronteira (ou do reservatório) através da qual ocorre a troca de calor k. É importante usar a temperatura do local da fronteira onde o calor cruza (não necessariamente a temperatura interna do sistema se houver descontinuidade).
  • Geração interna de entropia: S_{\text{gen}} (ou \dot{S}_{\text{gen}} em taxa) é a entropia criada dentro do sistema por irreversibilidades. Teorema da II Lei: essa geração é sempre não-negativa, S_{\text{gen}}\ge 0,\qquad \dot{S}_{\text{gen}}\ge 0.
  • Ideia física: a entropia do sistema aumenta por dois mecanismos: (i) transferência de entropia via calor que entra/ sai pela fronteira (cada contribuição \delta Q_k/T_k) e (ii) geração interna irreversível S_{\text{gen}}.

Passo 3

Forma diferencial (em taxa) da 2ª Lei para sistema fechado — desenvolvimento passo a passo:
  • Para um sistema fechado, o balanço de entropia em forma de taxa é: \frac{dS_{\text{sys}}}{dt}=\sum_{k}\frac{\dot{Q}_k}{T_k}+\dot{S}_{\text{gen}}.Explicando cada termo:
    • \dfrac{dS_{\text{sys}}}{dt} é a razão temporal de variação da entropia do sistema.
    • \dot{Q}_k é a taxa de calor que atravessa a fronteira pela interação k (positivo para calor entrando).
    • T_k é a temperatura local (da fronteira ou do reservatório) associada àquela transferência de calor.
    • \dot{S}_{\text{gen}} é a taxa de geração interna de entropia, oriunda de irreversibilidades internas; satisfaz \dot{S}_{\text{gen}}\ge 0.
  • Observação prática para provas: se houver apenas uma interação de calor com um reservatório à temperatura constante T_0, a soma reduz-se a \dot{Q}/T_0.

Passo 4

Forma integral entre dois instantes (ou estados) — desenvolvimento passo a passo:
  • Integrando a forma diferencial de t_1 até t_2 obtemos: \Delta S_{\text{sys}}=S_{\text{sys}}(t_2)-S_{\text{sys}}(t_1)=\sum_{k}\int_{t_1}^{t_2}\frac{\dot{Q}_k(t)}{T_k(t)}\,dt+S_{\text{gen}},onde S_{\text{gen}}=\int_{t_1}^{t_2}\dot{S}_{\text{gen}}(t)\,dt \ge 0.
  • Em forma de variáveis diferenciais de calor (notação por processos): \Delta S_{\text{sys}}=\sum_{k}\int_{1}^{2}\frac{\delta Q_k}{T_k}+S_{\text{gen}},e, se houver apenas um reservatório à temperatura constante T_0, \Delta S_{\text{sys}}=\frac{Q}{T_0}+S_{\text{gen}}.
  • Interpretação: a variação de entropia do sistema é a entropia que veio via calor (soma das \delta Q/T) mais a entropia gerada internamente.

Passo 5

Condição de irreversibilidade e caso limite reversível — como usar na prova:
  • Para um processo reversível (sem geração interna) vale a igualdade sem o termo de geração: \frac{dS_{\text{sys}}}{dt}=\sum_{k}\frac{\dot{Q}_k}{T_k}\qquad(\text{reversível}),íe então \dot{S}_{\text{gen}}=0.
  • Para processo irreversível (caso geral pedido) há sempre: \dot{S}_{\text{gen}}>0\quad\text{ou}\quad S_{\text{gen}}>0.
  • Em provas: para verificar se um processo viola a 2ª Lei, calcule \Delta S_{\text{sys}}-\sum_k\int \delta Q_k/T_k. Se o resultado for negativo, há erro (violação); o resultado físico deve ser \ge 0.

Passo 6

Como aplicar no exercício ou prova — passo a passo operacional (dicas práticas):
  1. Identifique o sistema (fechado — então nenhuma transferência de entropia por massa).
  2. Liste todas as trocas de calor \dot{Q}_k ou \delta Q_k com as respectivas temperaturas T_k na fronteira (se não estiver claro, use temperaturas dos reservatórios).
  3. Calcule \Delta S_{\text{sys}} usando função de estado (ex.: para gás ideal, use integração dS=C_V\frac{dT}{T}+R\frac{dV}{V} ou outra expressão adequada).
  4. Ache S_{\text{gen}}=\Delta S_{\text{sys}}-\sum_k\int \delta Q_k/T_k. Verifique S_{\text{gen}}\ge 0.
  5. Se pedir a forma instantânea, escreva a equação com derivadas no tempo.
  • Exemplo rápido e concreto: se um sistema fechado recebe calor Q de um reservatório a T_0 e sua entropia muda em \Delta S_{\text{sys}}, então S_{\text{gen}}=\Delta S_{\text{sys}}-\frac{Q}{T_0}\ge 0.

Passo 7

Resumo final curto (motivação e lembrete amigável):
  • A 2ª Lei para sistema fechado e irreversível é, essencialmente, o balanço de entropia que inclui a geração interna não negativa.
  • Na prova: escreva a equação, defina cada termo (atenção à temperatura correta de cada \delta Q/T), calcule \Delta S_{\text{sys}} a partir de propriedades de estado e então obtenha S_{\text{gen}} e cheque o sinal.
  • Força aí — seguindo esses passos você resolve qualquer questão sobre entropia em sistema fechado 😉

Resposta

\frac{dS_{\text{sys}}}{dt}=\sum_{k}\frac{\dot{Q}_k}{T_k}+\dot{S}_{\text{gen}},\qquad \dot{S}_{\text{gen}}\ge 0
\Delta S_{\text{sys}}=\sum_{k}\int_{1}^{2}\frac{\delta Q_k}{T_k}+S_{\text{gen}},\qquad S_{\text{gen}}\ge 0

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