Escreva a equação da 2^{\mathrm{a}} Lei da Termodinâmica completa para:
Um volume de controle.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva “a equação da 2ª Lei da Termodinâmica completa para um volume de controle”. Vou listar o que isso significa e quais quantidades precisamos considerar:
  • Queremos a forma de balanço de entropia para um volume de controle (sistema aberto), dependendo do tempo (forma geral, não só estado estacionário).
  • Precisamos incluir:
    • a variação de entropia dentro do volume de controle;
    • o transporte de entropia por escoamento de massa através das superfícies de entrada e saída;
    • a transferência de entropia por calor trocado com o ambiente (cada fluxo de calor dividido pela temperatura em que ocorre);
    • a produção interna de entropia por processos irreversíveis (geração de entropia).
  • Não são fornecidos números ou uma geometria específica, então entregarei a forma geral e as formas usuais (rearranjada para a taxa de geração e o caso estacionário).

Passo 2

Partindo da ideia física (Clausius): para um sistema fechado a mudança de entropia pode ser escrita como soma da entropia trocada por calor e da entropia gerada internamente. Em linguagem de volume de controle isso vira um balanço que inclui também o transporte convectivo de entropia. A forma verbal é:
“A taxa de variação da entropia dentro do volume de controle = entropia transferida por calor + entropia que entra por massa - entropia que sai por massa + entropia gerada internamente.”

Passo 3

Definições das grandezas que aparecerão na equação (cada variável explicada, unidades e sinal):
  • S_{CV}(t): entropia total contida no volume de controle no instante t. Unidade: \mathrm{J/K}.
  • \dfrac{dS_{CV}}{dt}: taxa de variação temporal da entropia no CV. Unidade: \mathrm{W/K} (i.e., \mathrm{J/(K\cdot s)}).
  • \dot{m}_i,\\ \dot{m}_e: vazões mássicas nas entradas ( i) e saídas ( e). Unidade: \mathrm{kg/s}.
  • s_i,\\ s_e: entropia específica (por unidade de massa) associada a cada corrente de massa nas entradas/saídas. Unidade: \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • \dot{Q}_k: taxa de transferência de calor através de uma porção k da superfície do CV. Convenção: \dot{Q}_k>0 significa calor entrando no CV. Unidade: \mathrm{W}.
  • T_k: temperatura (em Kelvin) na superfície onde ocorre a transferência de calor \dot{Q}_k. Quando o calor entra através de uma superfície onde a temperatura local do reservatório/parede é T_k, a contribuição de entropia por esse calor é \dfrac{\dot{Q}_k}{T_k}.
  • \dot{S}_{gen}: taxa de geração de entropia dentro do CV por irreversibilidades (frottement, mistura, transferência contracorrente de calor etc.). Propriedade fundamental: \dot{S}_{gen}\ge 0. Unidade: \mathrm{W/K}.

Passo 4

Forma física da equação (explicação da estrutura):
  • A entropia dentro do CV muda pela soma de três contribuições: entropia transportada por calor, entropia advectada por massas que entram e saem, e a entropia gerada internamente.
  • Se há vários fluxos de calor em superfícies diferentes (cada qual a uma temperatura possivelmente diferente), cada um contribui como \dfrac{\dot{Q}_k}{T_k}.
  • As contribuições de massa aparecem como \sum_{in}\dot{m}_i s_i (entradas) e \sum_{out}\dot{m}_e s_e (saídas). A diferença entre essas somas é o ganho líquido de entropia por escoamento.

Passo 5

Escrevendo a equação geral completa (forma usual encontrada em livros de termodinâmica para volume de controle):
\frac{dS_{CV}}{dt}=\sum_{k}\frac{\dot{Q}_k}{T_k}+\sum_{\text{in}}\dot{m}_i s_i-\sum_{\text{out}}\dot{m}_e s_e+\dot{S}_{gen}
Explicação do que cada termo representa (resumindo):
  • \dfrac{dS_{CV}}{dt}: acumulação de entropia no volume de controle;
  • \sum_{k}\dfrac{\dot{Q}_k}{T_k}: soma das transferências de entropia por calor nas diversas zonas de contato, cada uma avaliada na temperatura local T_k;
  • \sum_{\text{in}}\dot{m}_i s_i: entropia entrando por massa;
  • -\sum_{\text{out}}\dot{m}_e s_e: entropia saindo por massa (o sinal negativo aparece na soma à direita porque subtrai do conteúdo do CV);
  • \dot{S}_{gen}: geração interna de entropia (sempre \ge 0).

Passo 6

Reescrevendo isolando a taxa de geração de entropia (forma útil para verificar irreversibilidade):
\dot{S}_{gen}=\frac{dS_{CV}}{dt}-\sum_{k}\frac{\dot{Q}_k}{T_k}-\sum_{\text{in}}\dot{m}_i s_i+\sum_{\text{out}}\dot{m}_e s_e\ge 0.
Observações práticas:
  • Para processo reversível ideal teria \dot{S}_{gen}=0.
  • No regime estacionário (estado permanente) vale \dfrac{dS_{CV}}{dt}=0; então a forma estacionária fica
\sum_{\text{out}}\dot{m}_e s_e-\sum_{\text{in}}\dot{m}_i s_i-\sum_k\frac{\dot{Q}_k}{T_k}=\dot{S}_{gen}\ge 0.
  • Para casos simples (uma entrada, uma saída, um único fluxo de calor) basta aplicar essas somas com os termos correspondentes.

Passo 7

Pequeno exemplo didático (modo de usar a fórmula na prova — sem números):
  • Se você tem um CV em regime estacionário ( \dfrac{dS_{CV}}{dt}=0), uma entrada (índice 1) e uma saída (índice 2) e um único aquecimento \dot{Q} a temperatura do reservatório T_R, a equação estacionária reduz a:
\dot{m}s_2-\dot{m}s_1-\frac{\dot{Q}}{T_R}=\dot{S}_{gen}\ge 0,
ou seja,
\dot{S}_{gen}=\dot{m}(s_2-s_1)-\frac{\dot{Q}}{T_R}\ge 0.
  • Interprete sempre os sinais: se \dot{Q}>0 entra calor; se s_2>s_1 a entropia específica aumentou no escoamento, contribuindo para geração ou remoção líquida de entropia dependendo dos sinais.

Resposta

\frac{dS_{CV}}{dt}=\sum_{k}\frac{\dot{Q}_k}{T_k}+\sum_{\text{in}}\dot{m}_i s_i-\sum_{\text{out}}\dot{m}_e s_e+\dot{S}_{gen}
\dot{S}_{gen}=\frac{dS_{CV}}{dt}-\sum_{k}\frac{\dot{Q}_k}{T_k}-\sum_{\text{in}}\dot{m}_i s_i+\sum_{\text{out}}\dot{m}_e s_e\ge 0
\text{(estacionário: }\; \sum_{\text{out}}\dot{m}_e s_e-\sum_{\text{in}}\dot{m}_i s_i-\sum_{k}\frac{\dot{Q}_k}{T_k}=\dot{S}_{gen}\ge 0\text{)}á

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